狄利克雷卷積 是定義在數論函式間的一種二元運算，可以定義為：
\[(f * g)(n) = \sum\limits_ f(x) g(y)\]或
\[(f * g)(n) = \sum\limits_ f(d) g(\frac)
\]若 \(f, g\) 均為積性函式，則 \(f * g\) 也是積性函式。
顯然 \((f * g)(1) = f(1)g(1) = 1\)
設 \(n \perp m\)，則
\[\begin
(f * g)(n)(f * g)(m) &= \sum\limits_ f(d1)g(\frac) \sum\limits_ f(d2)g(\frac) \\
&= \sum\limits_ f(d1)g(\frac)f(d2)g(\frac) \\
&= \sum\limits_ f(d1d2)g(\frac)
\end
\]注意到 \(n \perp m\)，則 \(nm\) 的每個因數都能且僅能被表示為 \(n\) 的某一因數乘以 \(m\) 的某一因數，即上式可表示為
\[(f * g)(n)(f * g)(m) = \sum\limits_ f(d)g(\frac)
\]故 \(f * g\) 也是積性函式。
若 \(g, f * g\) 均為積性函式，則 \(f\) 也是積性函式。
反證法。
假設 \(f\) 不是積性函式，則一定存在一組 \(n, m\) 使得 \(f(n)f(m) \neq f(nm)\)。不妨嘗試構造出一組使得 \(nm\) 最小的 \(n, m\)
若 \(nm = 1\)，則 \(n = m = 1\)。有 \(f(1)f(1) \neq f(1)\)，知 \(f(1) \neq 1\)。又因為 \(g\) 是積性函式，得 \(g(1) = 1\)。此時 \((f * g)(1) = f(1)g(1) \neq 1\)，矛盾。
若 \(nm > 1\)，由 \(nm\) 最小知 \(\forall \gcd(a, b) = 1, ab < nm\)，有 \(f(a)f(b) = f(ab)\)
則\[\begin
(f * g)(nm) &= \sum\limits_ f(ab) g(\frac) \\
&= \sum\limits_ f(ab) g(\frac) \\
&= \sum\limits_ f(ab) g(\frac) + f(nm)g(1) \\
&= \sum\limits_ f(a) g(\frac) f(b) g(\frac) + f(nm)g(1) \\
&= \sum\limits_ f(a) g(\frac) \sum\limits_ f(b) g(\frac) - f(n)f(m) + f(nm)g(1) \\
&= (f * g)(n)(f * g)(m) - f(n)(m) + f(nm)g(1)
\end
\]因為 \(f(n)f(m) \neq f(nm)\)，所以 \((f * g)(nm) \neq (f * g)(n)(f * g)(m)\)，與 \(f * g\) 是積性函式矛盾。
綜上所述，\(f\) 是積性函式。
首先證明：
\[\begin
(f * \textbf)(n) &= \sum\limits_ f(d) \textbf(\frac) \\
&= \sum\limits_ f(d)
\end
\]\[\begin
(\operatorname * \textbf)(n) &= \sum\limits_ \operatorname(n) \\
&= \sum\limits_ d^k \\
&= \sigma_k(n)
\end
\]即 \(\operatorname * \textbf = \sigma_k\)
顯然 \(\sum\limits_ \varphi(d) = n = \operatorname(n)\)
又有 \(\sum\limits_ \varphi(d) = (\varphi * \textbf)\)
所以有結論：\(\varphi * \textbf = \operatorname\)
令 \(n = \prod\limits_^k p_i^\)，其中 \(p_i\) 均為兩兩不同的質數。
則\[\begin
(\mu * \textbf)(n) &= \sum\limits_ \mu(d) \\
&= \sum\limits_^k (-1)^i \\
&= \sum\limits_^k 1^ (-1)^i \\
&= [1 + (-1)]^k
\end
\]顯然
\[[1 + (-1)]^k =
\begin
1 \quad k = 0 \\
0 \quad k > 0
\end
\]所以
\[\begin
(\mu * \textbf)(n) &= [1 + (-1)]^k \\
&= [k = 0] \\
&= [n = 1] \\
&= \epsilon(n)
\end
\]即 \(\mu * \textbf = \epsilon\)
由上可知 \(\varphi * \textbf = \operatorname, \mu * \textbf = \epsilon\)
則\[\operatorname = \varphi * \textbf \\
\operatorname * \mu = \varphi * (\textbf * \mu) \\
\operatorname * \mu = \varphi * \epsilon
\]所以 \(\mu * \operatorname = \varphi\)
\[\begin
(\textbf * \textbf)(n) &= \sum\limits_ \textbf(d) \textbf(\frac) \\
&= \sum\limits_ 1 \\
&= \textbf(n)
\end
\]即 \((\textbf * \textbf)(n) = \textbf(n)\)
狄利克雷卷積 狄利克雷卷積學習筆記
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