同餘的定義
若整數\(a\)和整數\(b\)除以正整數\(m\)的餘數相等，則稱 \(a,b\) 模 \(m\) 同餘，即：$$m \mid a - b \leftrightarrow a \equiv b(\mod m)$$記為\(a \equiv b(\mod m)\)。
性質：若\(a_1 \equiv b_1(\mod m)\), \(a_2 \equiv b_2(\mod m)\),，那麼我們有
\(a_1 \pm a_2 \equiv b_1 \pm b_2(\mod m)\)
\(a_1 a_2 \equiv b_1 b_2(\mod m)\)
\(^k \equiv ^k(\mod m)\)
完全剩餘系
若\(a≡b(\mod m)\)，則 \(a\) 和 \(b\) 屬於模 \(m\) 的乙個同餘類。簡化剩餘系模 \(m\) 的同餘類一共有 \(m\) 個，他們構成m的完全剩餘系。
1 ～ \(m\) 中與 \(m\) 互質的數代表的同餘類共有 $ \varphi (m)$ 個，他們構成 \(m\) 的簡化剩餘系。費馬小定理
若\(p\)是質數，則對於任意整數a，有
\[a^p \equiv a (\mod p)
\]注：數學上常用的形式是\(a^ \equiv 1 (\mod p)\)， 當$ p \nmid a$時。
上面的寫法可避免討論。
練習：(1) 求整數\(0 \le a < 73\), 使得\(a \equiv 9^(\mod 73)\).
(2) 解\(x^ \equiv 6(\mod 29)\).
尤拉定理
若正整數 \(a, n\) 互質，則\(a^ \equiv 1(\mod n)\)，其中\(\varphi (n)\)為尤拉函式。
尤拉定理推論
若正整數 \(a, n\) 互質，則\(a^b \equiv a ^ (\mod n)\)，其中\(\varphi (n)\)為尤拉函式。
特別的，
當a,b不一定互質
且\(b > \varphi (n)\) 時， 有\(a^b \equiv a ^ (\mod n)\)
#### 例 最幸運的數字
8是中國的幸運數字，如果乙個數字的每一位都由8構成則該數字被稱作是幸運數字。
現在給定乙個正整數l，請問至少多少個8連在一起組成的正整數（即最小幸運數字）是l的倍數。
題解
\(x\)個8連在一起組成的數可以表示成\(8(10^x-1)/9\).
所有題目即求最小的x能使得\(l \mid 8(10^x-1)/9\).
該式等價於\(9l \mid 8(10^x-1)\).
記\(m = l/(\gcd(l, 8))\).
那麼\(9l \mid 8(10^x-1) \leftrightarrow 9m \mid 10^x-1\).
即\(10^x \equiv 1(\mod 9m)\)
注意到上次有解的乙個前提是\(\gcd (10, 9m)= 1\)
且在此前提下\(10^ \equiv 1(\mod 9m)\)。
所以使得同余式成立的最小正整數\(x_0\)是\(\varphi(9m)\)的約數 (證略)，
現在我們只需列舉\(\varphi(9m)\)的約數，利用快速冪從小到大對約數進行檢查即可。
注意：編寫快速冪時在本題條件下會出現long long $\times $ long long， 需用到長整型的乘法。
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