橢圓的標準方程準確來說是在這個位置擺放的橢圓的方程。
圖中的 \(c\) 是乙個動點，橢圓的乙個定義是，\(|ac|+|bc|=定值\)，一般設這個定值為 \(2a\)。
\(|ab|\) 稱為焦距，一般設為 \(2c\)。
一般設乙個 \(b=\sqrt\)，可以看出在圖中所示的位置 \(|cd|=b\)。
很容易可以看出 \(b\) 是橢圓的短半軸長，另外，\(a\) 是橢圓的長半軸長。
橢圓的離心率是 \(e=\cfrac ca\)，\(\dfrac ca=\sqrt}=\sqrt}=\sqrt}\)，可以看出，橢圓越扁，或者說越苗條，這個離心率就越大，同時 \(c=\sqrt\) 也越大，也就是說可以把離心率理解成兩個焦點偏離中心的程度，而且這個離心率的大小在 \((0,1)\) 之間。
現在推導橢圓方程。
\[\begin
\sqrt+\sqrt&=2a\\
(x+c)^2+y^2&=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt\\
a-\frac cax&=\sqrt\\
(a-\frac cax)^2&=(x-c)^2+y^2\\
(\frac-1)x^2-y^2&=c^2-a^2\\
\frac-\frac&=1\\
\frac+\frac&=1
\end
\]這個方程可以有一些變形。
可以發現，橢圓的關鍵資料就是 \(a,b,c\)。
那麼，如果長軸沿著 \(y\) 軸呢？嘗試後可以發現，把標準方程的 \(x\) 和 \(y\) 交換就行了。
但是現在標準方程所能表示的也只有中心在原點，長軸平行於 \(x\) 或 \(y\) 軸的橢圓，雖說可以通過簡單的平移讓標準方程能表示的橢圓變多，但標準方程是不能表示平面中所有橢圓的。
順便一提，當 \(a=b\) 時，橢圓變成乙個圓，離心率為 \(0\)，而且橢圓的方程此時也變成了圓的方程。
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