一本通組合篇

2022-09-19 13:21:16 字數 865 閱讀 8220

\(x^ny^m\) 的係數分為兩部分:一部分是本身帶有的 \(a\) 和 \(b\),用快速冪求解;另一部分是多項式造成的,通過二項式定理轉化為求組合數。最後答案為 \(c_k^na^nb^m\)。

模板題,用 lucas 定理求解即可。

放入第 \(1\) 隻牛,有 \(n\) 種選擇。放入第 \(2\) 隻牛,有 \(n-k\) 種選擇。以此類推,最終答案為 \(\sum_^nc_^i\)。

看本蒟蒻寫的題解

分成 \(a\times b\) 和 \((a+c)\times d\) 兩塊矩形計算方案數。

在 \(n\times m\) 的方格中放入 \(k\) 個東西使他們不同行、不同列的方案數是 \(c_n^k\times c_m^k\times k!\)。

正面不好考慮,因此考慮用所有情況減去共線的情況。

所有情況為從 \((n+1)(m+1)\) 個點中選三個點,即 \(c_^3\)。

共線的情況分為兩種,第一種是行列共線,第二種是對角線共線。

行列共線很簡單,即 \(c_^3\times(n+1)+c_^3\times(n+1)\)

對角線共線的方法比較巧妙,固定線段的一段為 \((0,0)\),然後列舉線段的另一端,不妨設為 \((x,y)\),不難證明這兩點的連線間有 \(\gcd(x,y)-1\) 個整點(不包含兩端),然後將這條線進行上下左右平移,以及翻摺即可。

模板題,用 lucas 定理求解即可。

共有 \(r-l+1\) 個數可以選,令 \(m=r-l+1\),設這 \(m\) 個數在序列中分別出現了 \(x_i\) 次,則需要求 \(\sum_^mx_i=n\) 有多少組解,與方程的解方法一樣

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