從 \(n\) 個不同元素種取出 \(m(m\le n)\) 個元素的所有不同排列的個數，叫做從 \(n\) 個不同元素種取出 \(m\) 個元素的排列數，用符號 \(a_n^m\) 表示。
排列數的一些性質
\[a_n^m=\frac
\]\[na_^=\frac\\=\frac\\=a_n^m
\]\[ma_^+a_^m=\frac+\frac\\=\frac\\=\frac\\=a_n^m
\]從 \(n\) 個不同元素種取出 \(m(m\le n)\) 個元素的所有不同組合的個數，叫做從 \(n\) 個不同元素種取出 \(m\) 個元素的組合數，用符號\(c^m_n\) 表示。
組合數的一些性質
\[c_n^m=\frac
\]\[c_n^m=c_^m+c_^\ \ \texttt
\]\[c_n^m=c_m^
\]\[\sum_^mc_^i=c_m^0+c_^1+c_^2+...+c_^r\\=c_m^1+c_^1+c_^2+...+c_^r\\=c_^1+c_^2+...+c_^r\\=c_^r
\]\[\texttt s_^m=\sum_^mc_n^m,\texttt\\s_n^=s_n^m+c_n^\\s_^m=c_^0 + c_^1 + c_^ 2 + \cdots + c_^m\\=c_^0 + (c_n^0 + c_n^1) + (c_n^1 + c_n^2) + \cdots + (c_n^ + c_n^m)\\=2s_n^m-c_n^m\\ \texttt
\]\[(x+y)^n=\sum_^n c_n^ix^iy^
\]\[\sum_^nc_n^i x^i=\sum_^n1^c_n^i x^i=(1+x)^n
\]\[\sum_^n c_^i=\sum_^n 1^i\times 1^c_^i=(1+1)^n=2^n
\]\[\sum_^n (-1)^ic_n^i=\sum_^n 1^(-1)^ic_n^i=(1+(-1))^n=0
\]\[c_^n=\sum_^c_n^ic_m^i
\]\[c_n^m=\frac n m c_^
\]\[\sum_^n c_n^i\cdot i=\sum_^n \frac\\=n\sum_^n \frac\\=n\sum_^ c_^i\\=n2^
\]\[\sum_^nc_n^ii^2=n\sum_^ c_^i(i+1)\\=n(\sum_^ c_^ii+\sum_^c_^i)\\=n((n-1)2^+2^)=n(n+1)2^
\]\[\sum_^n(c_n^i)^2=\sum_^nc_n^ic_^=c_^n
\]\[f(n)=\sum_^n (-1)^ic_n^ig(i)\leftrightarrow g(n)=\sum_^n (-1)^ic_n^if(i)
\]\[f(n)=\sum_^nc_n^ig(i)\leftrightarrow g(n)=\sum_^n(-1)^f(i)
\]\[f(n)=\sum_^mc_i^ng(i)\leftrightarrow g(n)=\sum_^m(-1)^c_i^nf(i)
\]
組合數的一些性質
眾所周知，當n，m在自然數集中有 cm n n m n m 由此可證得cm n cm n 1 cm 1 n 1 而cm n 1 mc n m 1m是否也能用兩個組合數來表示cm n答案是肯定的。容易猜想cm n c m n 1 cm 1 n 1而且猜想很容易證得是正確的。證明如下 cm n 1 m ...
組合數和排列數
輸出組合數和排列數 include typedef long long ll ll factorial int num void cp mn int m,int n,ll a intmain 計算組合數 題目描述 計算組合數。c n,m 表示從n個數中選擇m個的組合數。計算公式如下 c n,m c ...
關於組合數的一些東西
組合數對應著楊輝三角楊輝三角中第i行j個表示cj 1i 1 由組合數的定義cj i ci ji 根據二項式展開 x 1 n ni 0ci nxi x 1時 ni 0ci n 2n 2 i,i ncin 2 n,i nci n 2 這個可以在楊輝三角上將每乙個點分解得出 當2 n，由於有對稱性，證明顯...