要求：最優子結構：求解 i 需要 j k 兩個狀態，用到的一定是 j k 的最優解
無後效性：
只關心狀態值，不關心狀態是如何推出來的。
狀態一旦確定，不會受到之後階段的決策的影響
只關注 j k 的最優解，而不需要考慮是否有可能使用了公共的資源而導致最終解不合法
常見型別：
序列dp：
狀態 [ i ] 表示前 i 個元素組成的狀態。
狀態 [ i ] 表示用到了第 [ i ] 個元素時組成的狀態。
區間dp：
常見的轉移是列舉中間的斷點 k，拆分成 [ l , k ] 與 [ k + 1 , r ]
有時候可以用四邊形不等式優化
有時候性質特殊，可以從 [ l + 1 , r ] 或者 [ l , r − 1 ] 中的乙個轉移
數字dp：
按照數字的位數劃分狀態進行 dp
一般為求 [l,r] 中滿足條件 p(i) 的數字個數
通常來說上界會很大，暴力列舉會超時（比如 10^18）
條件 p(i) 通常與數字的大小無關，而與數字的組成相關
原始形式 —— f [ i ] [ 0 / 1 ]，考慮到數字從高向低第 i 位，前面的數字是否達到上界(如數字上界為1234，前 3 位列舉了 123，則這一位只能列舉 1 ~ 4，而不是 0 ~ 9)
考慮dp時，先設計乙個最簡單的狀態，看看能不能轉移到下一狀態，若無法轉移，則考慮增加維度（如加上之前狀態對當前狀態產生的「影響」）
正推可能比逆推容易
概率dp：
設狀態 f [n] 表示距離目標還差 n 步時的期望
根據每一步決策的概率寫轉移方程 ： f [ i ] [ j ] = p ∗ f [ i − 1 ] [ j ] + (1 − p) ∗ f [ i ] [ j − 1 ]
期望：e( x + 1 ) = e( x ) + 1
e( ( x + 1 ) 2 ) = e( x 2 ) + 2 * e( x ) + 1
有可能會自己轉移到自己，這時需要移項代數變形
狀壓dp：
一般會先將所有合法狀態搜出來，然後編上號進行 dp
記憶化搜尋：好寫
優化：轉移過程優化：
單調佇列：
f [ i ] = min + w( i )
l[i] 隨 i 單調不降， w( i ) 是轉移方程組僅和 i 有關的部分，g( j ) 是轉移方程中僅和 j 有關的部分
對於 k < j 有 g( k ) ≥ g( j )，那麼決策 k 就是毫無用處的，用單調佇列維護 遞增
斜率優化：
存在 i j 的交叉項
乙個數列 a 分成若干組，乙個組 [l, r] 的代價為 m + ( ∑( l, r ) ai ) 2，求分組的最小代價。
• f [ i ] = min + m
減少冗餘狀態
根據 dp 方程尋找優化的方法，可以嘗試修改一下狀態的定義
計算過程優化：
部分和優化：字首和
矩陣快速冪：轉移方程中的係數為常係數，轉化為矩陣相乘 o(log n)
狀態設計優化：
交換答案與狀態：
lcs，n ≤ 1e6, m ≤ 1e3 —— 答案與第一維對調，通過預處理 a 的每一位的下乙個 a, b, . . . , z 出現的位置，o(m 2 + 26n)
寒假集訓總結2022
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