克魯斯卡爾演算法

看乙個應用場景和問題：

某城市新增 7 個站點 (a, b, c, d, e, f, g) ，現在需要修路把 7 個站點連通

各個站點的距離用邊線表示 ( 權 ) ，比如 a – b 距離 12 公里

問：如何修路保證各個站點都能連通，並且總的修建公路總里程最短 ?

克魯斯卡爾 (kruskal) 演算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的演算法。

基本思想：按照權值從小到大的順序選擇 n-1 條邊，並保證這 n-1 條邊不構成迴路

具體做法：首先構造乙個只含 n 個頂點的森林，然後依權值從小到大從連通網中選擇邊加入到森林中，並使森林中不產生迴路，直至森林變成一棵樹為止

克魯斯卡爾演算法**說明

以城市公交站問題來**說明克魯斯卡爾演算法的原理和步驟：

在含有n個頂點的連通圖中選擇n-1條邊，構成一棵極小連通子圖，並使該連通子圖中n-1條邊上權值之和達到最小，則稱其為連通網的最小生成樹。

例如，對於如上圖g4所示的連通網可以有多棵權值總和不相同的生成樹。

以上圖g4為例，來對克魯斯卡爾進行演示(假設，用陣列r儲存最小生成樹結果)。

第1步：將邊加入r中。

邊的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果r中。

第2步：將邊加入r中。

上一步操作之後，邊的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果r中。

第3步：將邊加入r中。

上一步操作之後，邊的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果r中。

第4步：將邊加入r中。

上一步操作之後，邊的權值最小，但會和已有的邊構成迴路；因此，跳過邊。同理，跳過邊。將邊加入到最小生成樹結果r中。

第5步：將邊加入r中。

上一步操作之後，邊的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果r中。

第6步：將邊加入r中。

上一步操作之後，邊的權值最小，但會和已有的邊構成迴路；因此，跳過邊。同理，跳過邊。將邊加入到最小生成樹結果r中。

此時，最小生成樹構造完成！它包括的邊依次是：。

克魯斯卡爾演算法分析

根據前面介紹的克魯斯卡爾演算法的基本思想和做法，我們能夠了解到，克魯斯卡爾演算法重點需要解決的以下兩個問題：

問題一對圖的所有邊按照權值大小進行排序。

問題二將邊新增到最小生成樹中時，怎麼樣判斷是否形成了迴路。

問題一很好解決，採用排序演算法進行排序即可。

問題二，處理方式是：記錄頂點在"最小生成樹"中的終點，頂點的終點是"在最小生成樹中與它連通的最大頂點"。然後每次需要將一條邊新增到最小生存樹時，判斷該邊的兩個頂點的終點是否重合，重合的話則會構成迴路。

如何判斷是否構成迴路-舉例說明(如圖)

在將加入到最小生成樹r中之後，這幾條邊的頂點就都有了終點：

(01) c的終點是f。

(02) d的終點是f。

(03) e的終點是f。

(04) f的終點是f。

就是將所有頂點按照從小到大的順序排列好之後；某個頂點的終點就是"與它連通的最大頂點"。

因此，接下來，雖然是權值最小的邊。但是c和e的終點都是f，即它們的終點相同，因此，將加入最小生成樹的話，會形成迴路。這就是判斷迴路的方式。也就是說，我們加入的邊的兩個頂點不能都指向同乙個終點，否則將構成迴路。

public class kruskalcase ;
//克魯斯卡爾演算法的鄰接矩陣
int matrix = ,
/*b*/ ,
/*c*/ ,
/*d*/ ,
/*e*/ ,
/*f*/ ,
/*g*/ };
//大家可以在去測試其它的鄰接矩陣，結果都可以得到最小生成樹.
//建立kruskalcase 物件例項
kruskalcase kruskalcase = new kruskalcase(vertexs, matrix);
//輸出構建的
kruskalcase.print();
kruskalcase.kruskal();
}public kruskalcase(char vertexs, int matrix) 
//初始化邊, 使用的是複製拷貝的方式
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for(int i = 0; i < vlen; i++) 
}//統計邊的條數
for(int i =0; i < vlen; i++) }}
}private void kruskal() 
}//。
//統計並列印 "最小生成樹", 輸出 rets
system.out.println("最小生成樹為");
for(int i = 0; i < index; i++) 
}/**
* 功能: 獲取下標為i的頂點的終點(), 用於後面判斷兩個頂點的終點是否相同
* @param ends ： 陣列就是記錄了各個頂點對應的終點是哪個,ends 陣列是在遍歷過程中，逐步形成
//* @param i : 表示傳入的頂點對應的下標
* @return 返回的就是 下標為i的這個頂點對應的終點的下標, 一會回頭還有來理解
*/private int getend(int ends, int p1) 
return p1;
}/**
** @param ch 頂點的值，比如'a','b'
* @return 返回ch頂點對應的下標，如果找不到，返回-1
*/private int getposition(char ch) 
}//找不到,返回-1
return -1;
}/**
* 功能: 獲取圖中邊，放到edata 陣列中，後面我們需要遍歷該陣列
* 是通過matrix 鄰接矩陣來獲取
* edata 形式 [['a','b', 12], ['b','f',7], .....]
* @return
*/private edata getedges() 
@override
public string tostring() 
@override
public int compareto(edata o) 
}

克魯斯卡爾演算法

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