一些常見的二元生成函式

2022-09-24 05:45:15 字數 1212 閱讀 5119

形式化的:

\[g(x,y) = \sum_\sum_(\frac)x^iy^j\\

=\sum_(x+xy)^i\\

=\frac\\

\]則稱\(g(x,y)\)為二元組\((x,y)\)在組合數意義下的乙個二元生成函式

具體用途----處理一些比較詭異的組合數上的連續求和

一般是通過將\(y\)帶換成\(x^k\),\(x\)也相應變形的方法來處理

\[g(x , x^k) = \sum_\sum_(\frac)x^\\

[x^n] = \sum_(\frac)

\]具體參見例題:

\[\sum_^m(\frac)\\

可以寫成求和式:\\

\sum_(\frac)\\

即g(x , x^0 = 1) = \frac\\

根據二項式定理有[x^n] = 2^n\\

\]\[\sum_^m(\frac)\\

可以寫成求和式:\\

\sum_\\

x = i + m , y = 2 * i \\

即x - y/2 = m

\]則令\(y = x^}\)

\[g(x^1 , x^}) = \frac\\

[x^n] = \frac,[z^] = \frac = f_

\]即第\((2n + 1)\)個斐波拉契數

\[s_1(x,y) = \sum_\sum_[\frac]\frac\\

乙個環的egf為f = \sum_\frac = -ln(1-x)\\

引入變數y記錄成環次數,則有:g = exp(yf) = exp(ln(\frac)^y) = (1-x)^\\

即有s_1(x,y) = (1-x)^\\

則有一行的ofg如下\\

=n!\sum_(\frac)(-1)^x^k =n!\sum_(\frac)x^k\\

=[x^n]n!(\frac) = y^}

\]一列的egf:

\[\frac,可以較簡單得到

\]第二類斯特林數

\[s_2(x,y) = \sum_\sum_\\}\frac = exp(y(e^x-1))\\

= \sum_\frac = \sum_\frac\sum_e^(-1)^k(\frac)\\

隨便化一下大概就是\\

[x^n] = \sum_\frac\sum_^i(\frac)k^n(-1)^

\]

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