來自 hzwer 的九道非常經典的分塊題。
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1.給出乙個長度為 \(n\) 的數列，支援區間加，單點查值。
將序列分成長度為 \(s\) 的 \(\lceil\frac\rceil\) 塊。
設我們的操作區間為 \([l,r]\)，稱被其完全包含的塊為整塊，否則為散塊。
可以發現整塊的數量不超過 \(\lceil\frac\rceil\)，散塊的數量不超過 \(2\)，於是散塊中元素的個數不超過 \(2s\)。
加法操作就可以在這 \(\lceil\frac\rceil\) 個整塊上打標記，散塊中的元素暴力加。
一次操作的時間複雜度為 \(o(\lceil\frac\rceil+s)\)。
單點查詢就直接輸出該位置的值加上所在塊的標記，複雜度是 \(o(1)\) 的。
注意到我們需要平衡修改操作的複雜度，即讓 \(\lceil\frac\rceil\) 和 \(s\) 盡量差的小。
於是取 \(s=\sqrt n\) 就可以做到 \(o(\sqrt n)\)。
總時間複雜度 \(o(n\sqrt n)\)。
2.給出乙個長度為 \(n\) 的數列，支援區間加，求乙個區間中小於乙個數 \(x\) 的元素數量。
可以考慮在每個塊內維護原序列排序後的序列。也就是每個塊維護乙個原塊，和乙個排序後的塊。
那麼對於乙個塊的詢問就可以 \(o(\log s)\) 二分一下完成。
散塊暴力統計，時間複雜度 \(o(s)\)。
那麼一次詢問的複雜度為 \(o(\lceil\frac\rceil\log s+s)\)。
對於修改操作，可以發現對於乙個整塊進行整體加法並不會改變其有序性。所以可以直接在 \(\lceil\frac\rceil\) 個整塊上打加法標記，複雜度 \(o(\lceil\frac\rceil)\)。
散塊暴力做加法，同時重新排序，時間複雜度 \(o(s+s\log s)\)。
於是一次修改的複雜度為 \(o(\lceil\frac\rceil+s\log s)\)。
取 \(s=\sqrt n\) 可以做到 \(o(\sqrt n\log n)\)。
數列分塊 1 9
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