bsgs（baby-step giant-step），即大步小步演算法，常用於求解離散對數問題。該演算法可以在 \(o(\sqrt p)\) 的時間複雜度內求解
\[a^x \equiv b \pmod p
\]我們將求解的答案 \(x\) 設為 \(km-c \ (c < m)\) 的形式，即
\[a^ \equiv b \pmod p
\]在 \(a \perp p\) 條件下，上式等價於
\[a^ \equiv ba^ \pmod p
\]先列舉 \(c\)，使用雜湊表（或map）將所有 \(ba^c\) 的值存起來。
再列舉 \(k\)，計算 \(a^\) 的值並尋找是否有 \(ba^c\) 的值與之對應，從而找到方程所有解。
至此，我們找到了模 \(p\) 意義下的所有解。
不難發現，該演算法時間複雜度為 \(o(\max (m,\dfrac))\)，當 \(m=\left\lceil \sqrt p \right\rceil\) 時，複雜度最優。
故該演算法的時間複雜度為 \(o(\sqrt p)\)。
此時，\(a^ \equiv ba^ \pmod p\) 是 \(a^ \equiv b \pmod p\) 的必要不充分條件，我們需要進行變形使得 \(a\) 和模數以使用上述演算法求解。
同餘的基本性質：若 \(a,b,d,m \in \mathbf,d \mid a,d \mid b,d \mid m\)，則 \(a \equiv b \pmod p\) 等價於 \(\frac \equiv \frac \pmod }\)設 \(d_1=\gcd(a,p)\)。
若 \(d_1 \nmid b\)，則方程無解。
否則，將方程變形為
\[\dfraca^ \equiv \dfrac \pmod }
\]若 \(a\) 與 \(\dfrac\) 仍不互素，則不斷重複上述過程，直到 \(a \perp \dfrac\)。
此時，原方程變形為
\[\dfraca^ \equiv \dfrac \pmod }
\]通過第一部分的 bsgs 演算法，不難求出 \(x-m\) 的所有解，只需另外需考慮 \(x < m\)的情況即可。
時間複雜度仍為 \(o(\sqrt n)\)
設 \(g\) 是模 \(n\) 的原根，那麼對於任意 \(a\) 滿足 \(a \perp n\)，均存在 \(k\) 使得
\[g^k \equiv a \pmod n
\]這樣的關係有助於把 \(\bmod \ n\) 的乘法轉化為 \(\bmod \ \varphi(n)\) 的加法。
考慮求解 \(x^a \equiv b \pmod p\)，滿足 \(b \in \mathbf\) 且 \(p\) 是素數。
設 \(g\) 為模 \(p\) 的原根，由於 \(g^0,g^1,g^2,\cdots,g^\) 構成模 \(p\) 的一組簡化剩餘系且 \(p \nmid x\)，故令 \(x=g^c,b=g^t\)，得到
\[g^ \equiv g^t \pmod p
\]兩邊同時取離散對數，得到
\[ac \equiv t \pmod
\]我們可以先通過 bsgs 演算法求解出 \(t\)，再通過擴充套件歐幾里得演算法求解出 \(c\)，即可得到方程的一組特解：\(x_0=g^c\)。
找到一組特解 \(x_0=g^c\) 之後，令 \(x=g^k\)，得到
\[g^ \equiv g^ \pmod p
\]故 \(k\) 的所有解為
\[\forall t \in \mathbf z,a \mid t \cdot \varphi (p),k=c+ \dfrac
\]由於 \(a \mid t \cdot \varphi (p)\)，則 \(\frac \mid t\)，故令 \(t=\frac \cdot i\)
則原方程所有解為
\[\forall i \in \mathbf z,x=g^ \cdot i}
\]
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