dls數論課程學習

2022-10-08 02:36:09 字數 1139 閱讀 7662

1-n之間的素數個數:n/lnn 級別的

第n個素數的大小:nlogn級別大小

1-n的倒數和:logn級別

1-n之間素數的倒數和:loglogn級別的

a|c, b|c, (a, b) = 1 --> ab|c,  a,b分別是c的一些質因子乘積,且a,b沒有相同的質因子,所以c%(ab)==0

或者:[a, b]|c. 其中[a,b] = ab|(a, b) = ab

a|bc, (a,b) = 1 ---> a|c

p|ab ---> p|a或p|b

所有公倍數都是最小公倍數的倍數

所有公約數都是最大公約數的約數

a = p1^a1*p2^a2....pk^ak

b = p1^b1*p2^b2....pk^bk

(a, b) = pi^min(ai, bi) 的連乘積

[a, b] = pi^max(ai, bi) 的連乘積

(a, b)[a, b] = ab = pi^(min(ai, bi) + max(ai, bi)) 的連乘積

簡單證明

(a, b) = (a - b, b)

d|a, d|b ---> d|(a-b), d|b

d|(a, b) <--> d|(a-b, b)

時間複雜度:log(min(a, b))

(a, b) = (b, a mod b) 分類討論可以發現每做一次都有乙個數減小至少一半

n個數依次做歐幾里得,時間複雜度是n+log(max(ai)),不是nlogn,因為有個全域性的最小公約數

最小公倍數推薦寫法:(a/gcd(a, b))*b

另一種求公約數的方法

如果a,b都是奇數,那麼(a, b) = (a-b, b)

如果a是偶數,b是奇數,那麼(a, b) = (a/2, b)

如果a,b都是偶數,(a, b) = 2(a/2, b/2)

主要用於高精度取餘

int128等也比較快

a, b, (a, b)|d  <--> au+bv=d 存在整數解

構造證明

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