準素分解
把複雜的理想分解成簡單理想之交是研究環結構的一種方法。例如，對於整數環的理想\(n\mathbb\)，如果\(n\)是不同素數的乘積，那麼我們就可以分解成素理想的交
\[30\mathbb = 2\mathbb\cap 3\mathbb\cap 5\mathbb
\]但\(n\)也可以是素數冪的乘積，這種情況下素理想就不夠用了。因此，我們提出了準素理想，也即「素數冪」的理想。
\[素理想：x, y \in p \rightarrow 要麼 x\in p 要麼 y\in p
\]\[準素理想：x, y \in q \rightarrow 要麼 x^n\in q 要麼 y^n\in q對於某個 n > 0
\]準素理想和商環也有對應性質：
\[m是極大理想\leftrightarrow a/m是域
\]\[p是素理想\leftrightarrow a/p是整環
\]\[q是準素理想\leftrightarrow a/q的零因子都是冪零元
\]如此以來理想分解可以推廣到所有諾特環上。
多項式環\(\mathbb[t]\)的理想\(m = (2, t)\)是極大的，理想\(q = (4, t)\)是\(m\)準素的，但不是\(m\)的冪。
易驗證\(\mathbb[t]/m \cong \mathbb/(2)\)是域，\(\mathbb[t]/q\cong \mathbb/(4)\)有乙個零因子\(2\)且\(2^2 \equiv 0 \mod 4\)。但\(m^2 = (4, 2t, t^2)\neq q\)，所以\(q\)不是\(m\)的冪。
設\(k\)是域，多項式環\(a = k[x_1,\dots, x_n]\)的理想\(p_i = (x_1,\dots,x_i)(1 \leq i \leq n)\)都是素理想，他們的冪都是準素理想。
\(a/p_i\cong k[x_, \dots, x_n]\)是整環，因此\(p\)是素理想。
我們再考慮\(a/p_i^m\)。設兩個多項式滿足
\[fg = \sum_i a_ix_i^ 其中\sum_i k_i = m
\]則\(f\)必定是齊次多項式，\(f^m \in p_i^m\)。
若環\(a\)的每個理想都有準素分解，則每個分式環\(s^a\)有同樣的性質。
我們知道分式環環\(s^a\)的每個理想都是某個分式理想\(s^a\)的擴張，我們設\(a\)的準素分解為
\[a = \cap q_i
\]\[s^a = \cap s^q_i
\]而我們知道\(s^q_i\)要麼是準素理想，要麼是\(s^a\)。我們從分解中去除等於\(s^a\)的理想即得證。
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