斐波那契數列及青蛙跳台階問題

2022-10-10 12:27:13 字數 2614 閱讀 6130

題目1:

寫乙個函式,輸入n,求斐波那契(fibonacci)數列的第n項。

1斐波那契(fibonacci)數列定義如下:

效率很低的解法:

遞迴解法(效率很低)

function

fibonacci_solution1(n)

2 迴圈解法:改進的演算法:從下往上計算。首先根據f(0)和f(1)算出f(2),再根據f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此類推就可以算出第n項了。很容易理解,這種思路的時間複雜度是o(n)。實現**如下:

function

fibonacci(n)

;if(n < 2)

return

result[n];

var fibminusone = 1;

var fibminustwo = 0;

var fibn=0;

for(var i = 3 ; i <= n ; ++i)

return

fibn;

}

題目2:

乙隻青蛙一次可以跳上1級台階,也可以跳上2級。求該青蛙跳上乙個n級的台階總共有多少種跳法。

1可以把n級台階時的跳法看成是n的函式,記為f(n)。當n>2時,第一次跳的時候就有兩種不同的選擇:一是第一次只跳1級,此時跳法數目等於後面剩下的n-1級台階的跳法數目,即為f(n-1);另一種選擇是第一次跳2級,此時跳法數目等於後面剩下n-2級台階的跳法數目,即為f(n-2)。因此,n級台階的不同跳法的總數f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到這裡,不難看出這實際上就是斐波那契數列了。

與斐波那契數列不同的是,其初始值定義稍有不同,

當n=1時,只能跳一級台階,一種跳法

當n=2時,一次跳一級或兩級,兩種跳法

所以,關於青蛙跳台階的定義如下:

非遞迴寫法

function

frogjump12step(n)

return

frogn;

}

遞迴解法

funciton frogjump12steprecursive(n)

題目3:

乙隻青蛙一次可以跳上1級台階,也可以跳上2級。。。。。它也可以跳上n級,此時該青蛙跳上乙個n級的台階總共有多少種跳法?

1用數學歸納法可以證明:f(n)=2n−1f(n)=2n−1.

遞迴式證明:

當n = 1 時, 只有一種跳法,即1階跳:fib(1) = 1;

當n = 2 時, 有兩種跳的方式,一階跳和二階跳:fib(2) = fib(1) + fib(0) = 2;

當n = 3 時,有三種跳的方式,第一次跳出一階後,後面還有fib(3-1)中跳法; 第一次跳出二階後,後面還有fib(3-2)中跳法;第一次跳出三階後,後面還有fib(3-3)中跳法

fib(3) = fib(2) + fib(1)+fib(0)=4;

當n = n 時,共有n種跳的方式,第一次跳出一階後,後面還有fib(n-1)中跳法; 第一次跳出二階後,後面還有fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n階後, 後面還有 fib(n-n)中跳法.

fib(n) = fib(n-1)+fib(n-2)+fib(n-3)+……….+fib(n-n)=fib(0)+fib(1)+fib(2)+…….+fib(n-1)

又因為fib(n-1)=fib(0)+fib(1)+fib(2)+…….+fib(n-2)

兩式相減得:fib(n)-fib(n-1)=fib(n-1)

*****》 fib(n) = 2*fib(n-1) n >= 2

遞迴等式如下:

所以:f(n)=2∗f(n−1)=2∗2(n−2)....=2n−1∗f(0)=2n−1f(n)=2∗f(n−1)=2∗2(n−2)....=2n−1∗f(0)=2n−1

非遞迴解法:

function

frogjump12nstep(n)

return

fn;}

}

遞迴解法

function

frogjump12nsteprecursive(n)

else

if (n == 2)

else

}

題目4:

小矩形覆蓋大矩形,用2*1的小矩形橫著或豎著去覆蓋各大矩形。

思路:設題解為f(n),

第一步:若第一塊矩形豎著放,後邊還有n-1個2*1矩形,即此種情況下,有f(n-1)種覆蓋方法。

第二部:若第一塊橫著放,後邊還有n-2個2*1矩形,此種情況下,有f(n-2)種覆蓋方法。

第三部:可得 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

可知,此題可以轉化為其斐波那契數列第n項的值。

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原文:

斐波那契數列及青蛙跳台階問題

都是 寫乙個函式,輸入n,求斐波那契 fibonacci 數列的第n項。斐波那契 fibonacci 數列定義如下 f n 0,1,f n 1 f n 2 n 0n 1 n 2 效率很低的解法 遞迴解法 效率很低 long long fibonacci solution1 unsigned int ...

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