第一節 方程組的幾何解釋

2022-10-10 18:15:07 字數 2581 閱讀 3274

首先簡單介紹一些基本概念

矩陣:乙個按照長方陣列排列的複數或實數集合,\(m \times n\)矩陣代表乙個m行n列的矩形陣列

向量:向量是只有一行或一列的矩陣,即乙個\(1 \times n\)或\(m \times 1\)的矩陣

線性方程的基本問題就是解線性方程組

例:\(}

\\\end\right. }\)

分析:​ 對於二元線性方程組,對應的矩陣表示是

​ \(}

\text\text\text-1}\\

\text\text\text2}

\end \right] }}\right. }}

\\\end \right] }=}

\\\end \right] }}\right. }}\right. }\)

​ 令:

​ \(}

}\text\text\text-1}\\

\text\text\text2}

\end \right] }}\right. }}\\}\\

\end \right] }}\right. }}\\}\\

\end \right] }}\right. }}

\end}\)

則原線性方程簡化為:\(ax=b\)

矩陣\(a\)稱為係數矩陣

上例中,一行一行看,每乙個方程都表示二維平面上的一條直線,作圖

兩條直線相較於點\((1,2)\),也就說從行影象上看,方程組的解是乙個兩條直線的交點

將原方程組轉化成向量形式:

\(}\\

\end \right] }}\right. }+y}

\\\end \right] }=}

\\\end \right] }}\right. }}\right. }}\)

左邊兩個向量,通過\(x\)和\(y\)的線性組合形成了右邊的向量,此時\((1,2)\)是方程組的解,作圖

從列影象上看,方程組的解,是找出左側向量與\(x,y\)的合適組合(即線性組合)得到右側向量

從兩元方程組延伸到三元:

行影象:在三維空間中,三個平面的交點(假設有乙個解)

例:下面是\(}

\\\\

\end\right. }\)的行影象

列影象:通過左側三個向量的線性組合,得到右側向量

綜合行影象與列影象的分析,多元方程組的行影象是對矩陣\(a\)的行進行處理,而列影象是對矩陣\(a\)的列進行線性組合

在這裡思考乙個問題:對於乙個三元方程組(線性方程表示):

\(ax=x(列1)+y(列2)+z(列3)=b\)

由於\(x,y,z\)都是未知量,它們可能有無數種線性組合,

那麼對於任意的\(b\),是否都能求出\(ax=b\)?也就是說所有列的線性組合能否覆蓋整個三維空間?

答案是否定的

比如在列影象角度分析,對於乙個方陣(行數和列數相等的矩陣)\(a\),當三個列向量在同一平面上時(假設方程組有解),這三個列向量的線性組合也在這個平面上,也就是說\(b\)

只能在這個平面上不會覆蓋整個三維空間,這時矩陣\(a\)稱為奇異矩陣,矩陣\(a\)不可逆的;如果三個列向量不共面,那麼它們的線性組合有無數種情況,也就是說\(b\)的取值覆蓋了整個三維空間,這時矩陣\(a\)稱為非奇異矩陣

這是對奇異矩陣和非奇異矩陣幾何理解,後面會再進行深入學習

例:\(}

\text5}\\

\text3}

\end \right] }}\right. }}

\\\end \right] }}\right. }\)

法一:(線性運算)

原式\(}

\\\end \right] }}\right. }+2}

\\\end \right] }=}\right. }}

\\\end \right] }}\right. }=}

\\\end \right] }}\right. }}\)

法二:(行運算)左側矩陣\(a\)的每一行點乘右側向量\(x\)

原式\(}

\\\end \right] }=}

\\\end \right] }}\right. }}\right. }}\)

兩種方法看似相同,但思路不同,第一種方法思路簡單,對於再大點的矩陣運算時不易出錯

例2:\(\text5\text} \right] }}\right. }}

\text4}\\

\text5}

\end \right] }}\right. }\)

線性運算:

原式\(\text4} \right] }}\right. }+5 \times \text5} \right] }}\right. }=\text1 \times 4+5 \times 5} \right] }}\right. }=\text29} \right] }}\right. }}\)

從這兩個例子可以得到結論:矩陣乘以一列結果是一列,一行乘以矩陣結果是一行

第一節 方程組的幾何解釋

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