2022 6 寫題記錄

2022-10-11 15:57:11 字數 703 閱讀 2083

p7581 「rdoi r2」路徑權值(distance)

考慮離線詢問,掛到節點上,然後從下往上維護答案.

首先對於每個節點 \(u\) 預處理乙個路徑權值字首和 \(\mathrm[u]\),那麼兩個點的距離就是 \(\mathrm[u]+\mathrm[v]-2\ \mathrm[\mathrm(u,v)]\).

對於當前子樹的每個深度 \(k\) 維護乙個 \(\mathrm_k\) 表示 \(\sum_[u]=k}\mathrm[u]\), \(\mathrm_k\) 表示深度為 \(k\) 的節點數量,\(\mathrm_k\) 表示答案.

合併兩棵子樹 \(u,v\) 時,設他們的父親為 \(w\) 兩棵子樹內部的答案已經統計過了,所以只需要加上經過 \(w\) 的路徑的答案就好.

左子樹的乙個深度為 \(k\) 可以和右子樹任意乙個深度為 \(k\) 的節點構成一條路徑,所以它貢獻了 \(v.\mathrm_k\) 次,右子樹中的節點同樣.

注意要減去 \(w\) 的貢獻.

\[w.\mathrm_k=u.\mathrm_k+v.\mathrm_k+(u.\mathrm_k-u.\mathrm_k\times \mathrm[w])\times v.\mathrm_k+(v.\mathrm_k-v.\mathrm_k\times \mathrm[w])\times u.\mathrm_k.

\]時間複雜度 \(o((n+q)\log n)\).

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