在《程式設計珠璣》第八章，作者提出一道演算法題：
程式描述：
輸入是乙個具有n個浮點數字的向量x: 其輸出是在輸入的任何相鄰子向量中找出的最大和。
例如，輸入如下10個元素：
31 －41 59 26 －53 58 97 －93 －23 84
返回 x[2..6]的總和，或為187
作者分別給出了三次演算法o(n^3)，兩個二次演算法o(n^2)，分治演算法o(n logn )和掃瞄演算法o(n)。
我對該問題作了研究後，給出自己的一種解法。
考慮陣列 x[ n ],我們新開闢乙個陣列sumx[ n + 1 ]，其中sumx[ 0 ] = 0, 而 sumx[ i ] 為 x[ 0..i-1 ] 的和。
這樣，對於 x[ i..j ]的和，有 sum( x[ i..j ] ) = sumx[ j+1 ] - sumx[ i ].
對於陣列sumx, 假設最大值為 sumx[ po**ax ], 最小值為 sumx[ po**in ]，下面分三種情況：
1. po**in < po**ax，也即最小值在最大值左邊，我們可以肯定 x[ po**in..po**ax-1 ] 就是所要求的總和。
否則，若x[ i..j ]是所要求的總和，且 i != po**in或 j != po**ax,
則有sum( x[ i..j ] ) <= sum( x[ po**in, j ] ) <= sum( x[ po**in, po**ax ] )
或sum( x[ i..j ] ) <= sum( x[ i, po**ax ] ) <= sum( x[ po**in, po**ax ] )
上面兩不等式至少有乙個嚴格小於，所以sum( x[ i..j ] ) < sum( x[ po**in, po**ax ] )
由上可知，這種情況中返回結果 sumx[ po**ax ] - sumx[ po**in ]
2. po**in == po**ax,說明除了 x[ po**in ]外，其餘x[ i ] 全為0
又由於sumx[ 0 ] = 0,所以 sumx[ po**ax ] > 0
所以 x[ po**ax - 1 ]是所要求的總和
這種情況中返回結果 sumx[ po**ax ],也就是 x[ po**ax-1 ] 乙個元素
3.po**in > po**ax
這種情況比較複雜，我們可以把sumx分為三部分：
a)sumx[ 0 ]..sumx[ po**ax ]; b)sumx[ po**ax + 1 ] ... sumx[ po**in - 1 ], c)sumx[ po**in ].. sumx[ n + 1 ].
我們可以肯定，要找出的x[ i..j-1 ],也可以認為是sumx[ i],sumx[j ]必在同乙個小部分中。
否則，若 0 <= i <= po**ax 而 po**ax < j
則sum( x[ i..j-1 ] ) = sumx[ j ] - sumx[ i ] < sumx[ po**ax ] - sumx[ i ]。
對於其他情況，也可以同樣證明。
於是我們可以分別對陣列a,b,c處理，找出最大和。
對陣列a，找出最小值sumx[ po**in1 ],必有po**in1 < po**ax,
於是結果 tmpmax1 = sumx[ po**ax ] - sumx[ po**in1 ]
對陣列c，找出最大值sumx[ po**ax3 ],必有po**in < po**ax3,
於是結果 tmpmax3 = sumx[ po**ax3 ] - sumx[ po**in ]
對陣列b，這是乙個比開始問題規模更小的子問題，可再迭代處理，得到結果tmpmax2
這種情況中返回結果 tmpmax1, tmpmax2, tmpmax3中最大值
這種演算法在最優情況下(po**in <= po**ax)可看作一線性演算法，執行時間o(n)
在最壞情況下（每次處理均有po**ax = 0, po**in = 陣列索引最大值,每個子問題規模減2)，
這時可看作二次演算法，執行時間o(n^2)
使用隨機數除錯，發現大部分情況執行時間在o( n logn ) 與 o( n^2 )之間。
測試結果：
n=10 n*logn=23 n*sqrtn=31 n^2=100 程式執行次數:27
n=100 n*logn=460 n*sqrtn=1000 n^2=10000 程式執行次數:404
n=1000 n*logn=6907 n*sqrtn=31622 n^2=1000000 程式執行次數:13009
n=10000 n*logn=92103 n*sqrtn=1000000 n^2=100000000 程式執行次數:683867
程式設計珠璣讀後感
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