關係傳遞閉包warshall演算法之思想的一種解說
周曉煒
（西安郵電學院計算機系網路0407班 西安 710121）
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1、引言
warshall在2023年提出了乙個求關係的傳遞閉包的有效演算法。其具體過程如下，設在n個元素的有限集上關係r的關係矩陣為m：
（1）置新矩陣a=m;
（2）置k=1;
（3）對所有i如果a[i,k]=1，則對j=1..n執行：
a[i,j]←a[i,j]∨a[k,j];
（4）k增1;
（5）如果k≤n，則轉到步驟（3），否則停止。
所得的矩陣a即為關係r的傳遞閉包t(r)的關係矩陣。
在左孝凌等編著的《離散數學》中提到了該演算法，但並未對此演算法作出解釋。下面本文將對該演算法的思想作出一種比較通俗的解說。
2、對warshall演算法的解說
設關係r的關係圖為g，設圖g的所有頂點為v1,v2,…,vn，則t(r)的關係圖可用該方法得到：若g中任意兩頂點vi和vj之間有一條路徑且沒有vi到vj的弧，則在圖g中增加一條從vi到vj的弧，將這樣改造後的圖記為g』，則g』即為t(r)的關係圖。g』的鄰接矩陣a應滿足：若圖g中存在從vi到vj路徑，即vi與vj連通，則a[i,j]=1，否則a[i,j]=0。
這樣，求t(r)的問題就變為求圖g中每一對頂點間是否連通的問題。
定義乙個n階方陣序列a(0),a(1),a(2),…,a(n)，每個方陣中的元素值只能取0或1。a(m)[i,j]=1表示存在從vi到vj且中間頂點序號不大於m的路徑（m=1..n），a(m)[i,j]=0表示不存在這樣的路徑。而a(0)[i,j]=1表示存在從vi到vj的弧，a(0)[i,j]=0表示不存在從vi到vj的弧。
這樣，a(n)[i,j]=1表示vi與vj連通，a(n)[i,j]=0表示vi與vj不連通。故a(n)即為t(r)的關係矩陣。
那麼應如何計算方陣序列a(0),a(1),a(2),…,a(n)呢？
很顯然，a(0)=m（m為r的關係矩陣）。
若a(0)[i,1]=1且a(0)[1,j]=1，或a(0)[i,j]=1，當且僅當存在從vi到vj且中間頂點序號不大於1的路徑，此時應將a(1)[i,j]置為1，否則置為0。
一般地，若a(k-1)[i,k]=1且a(k-1)[k,j]=1，或a(k-1)[i,j]=1，當且僅當存在從vi到vj且中間頂點序號不大於k的路徑，此時應將a(k)[i,j]置為1，否則置為0（k=1..n）。用公式表示即為：
(k)[i,j]=(a(k-1)[i,k]∧a(k-1)[k,j])∨a(k-1)[i,j] i,j,k=1..n
這樣，就可得計算a(k)的方法：先將a(k)賦為a(k-1)；再對所有i=1..n，若a(k)[i,k]=1（即a(k-1)[i,k]=1），則對所有j=1..n，執行：
(k)[i,j]←a(k)[i,j]∨a(k-1)[k,j]
但這與前述warshall演算法中的第（3）步還有一定距離。若將上式改為：
a(k)[i,j]←a(k)[i,j]∨a(k)[k,j] （即把a(k-1)[k,j]改為a(k)[k,j]）
就可將上標k去掉，式子就可進一步變為：
a[i,j]←a[i,j]∨a[k,j]
這樣可以只用儲存乙個n階方陣的空間完成計算，且與前述warshall演算法中第（3）步的式子一致。那麼，可不可以把a(k-1)[k,j]改為a(k)[k,j]呢？答案是肯定的。下面將證明在計算a(k)的過程中a(k-1)[k,j]與a(k)[k,j]相等（a(k)被賦初值a(k-1)後）。考察計算a(k)的方法 只有當i=k時a(k)[k,j]的值才有可能改變，此時將式a(k)[i,j]←a(k)[i,j]∨a(k-1)[k,j]中的i換為k，得a(k)[k,j]←a(k)[k,j]∨a(k-1)[k,j]，對某一j，執行該式的賦值操作前a(k)[k,j]=a(k-1)[k,j]，因為計算a(k)開始時a(k)被賦為a(k-1)，故它們相或的結果等於a(k-1)[k,j]，故賦值操作不改變a(k)[k,j]的值。這樣，就沒有操作會改變a(k)[k,j]的值，故a(k-1)[k,j]與a(k)[k,j]相等。
綜上，就可得到計算a(n)的演算法，且該演算法與前述的warshall演算法完全一致。
由上面的分析，不難看出，warshall演算法類似於求圖中每對頂點間最短路徑的floyd演算法。其實，用floyd演算法也能求關係的傳遞閉包，方法為令關係r的關係圖g中的每條弧的權值都為1，這樣得一有向網g1，設g1的鄰接矩陣為d(-1)（若vi無自迴路，則d(-1)(i,i)=∞），對g1用floyd演算法求其每對頂點間最短路徑，得結果矩陣d(n-1)。因若g中vi與vj連通，當且僅當d(n-1)[i,j]≠∞，故將矩陣d中的∞都改為0，其它值都改為1，得矩陣a，則矩陣a即為t(r)的關係矩陣。floyd演算法和warshall演算法的時間複雜度都為o(n3)，但明顯用floyd演算法求關係的傳遞閉包繞了彎子。
[1]左孝凌，李為鑑，劉永才，《離散數學》，上海：上海科學技術文獻出版社，1982
[2]嚴蔚敏，吳偉民，《資料結構 c語言版》，北京：清華大學出版社，1997
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