遞迴演算法的時間複雜度分析

2021-04-30 07:48:06 字數 2229 閱讀 4375

在演算法分析中,當乙個演算法中包含遞迴呼叫時,其時間複雜度的分析會轉化為乙個遞迴方程求解。實際上,這個問題是數學上求解漸近階的問題,而遞迴方程的形式多種多樣,其求解方法也是不一而足,比較常用的有以下四種方法:

(1)代入法(substitution method)

代入法的基本步驟是先推測遞迴方程的顯式解,然後用數學歸納法來驗證該解是否合理。

(2)迭代法(iteration method)

迭代法的基本步驟是迭代地展開遞迴方程的右端,使之成為乙個非遞迴的和式,然後通過對和式的估計來達到對方程左端即方程的解的估計。

(3)套用公式法(master method)

這個方法針對形如「t(n) = at(n/b) + f(n)」的遞迴方程。這種遞迴方程是分治法的時間複雜性所滿足的遞迴關係,即乙個規模為n的問題被分成規模均為n/b的a個子問題,遞迴地求解這a個子問題,然後通過對這a個子間題的解的綜合,得到原問題的解。

(4)差分方程法(difference formula method)

可以將某些遞迴方程看成差分方程,通過解差分方程的方法來解遞迴方程,然後對解作出漸近階估計。

下面就以上方法給出一些例子說明。

一、代入法

大整數乘法計算時間的遞迴方程為:t(n) = 4t(n/2) + o(n),其中t(1) = o(1),我們猜測乙個解t(n) = o(n2),根據符號o的定義,對n>n0,有t(n) < cn2 - eo(2n)(注意,這裡減去o(2n),因其是低階項,不會影響到n足夠大時的漸近性),把這個解代入遞迴方程,得到:

t(n) =  4t(n/2) + o(n)

≤ 4c(n/2)2 - eo(2n/2)) + o(n)

=  cn2 - eo(n) + o(n)

≤ cn2

其中,c為正常數,e取1,上式符合 t(n)≤cn2 的定義,則可認為o(n2)是t(n)的乙個解,再用數學歸納法加以證明。

二、迭代法

某演算法的計算時間為:t(n) = 3t(n/4) + o(n),其中t(1) = o(1),迭代兩次可將右端展開為:

t(n) = 3t(n/4) + o(n)

= o(n) + 3( o(n/4) + 3t(n/42) )

= o(n) + 3( o(n/4) + 3( o(n/42) + 3t(n/43) ) )

從上式可以看出,這是乙個遞迴方程,我們可以寫出迭代i次後的方程:

t(n) = o(n) + 3( o(n/4) + 3( o(n/42) + ... + 3( n/4i + 3t(n/4i+1) ) ) )

當n/4i+1=1時,t(n/4i+1)=1,則

t(n) = n + (3/4) + (32/42)n + ... + (3i/4i)n + (3i+1)t(1)

< 4n + 3i+1

而由n/4i+1=1可知,i4n,從而

3i+1 ≤ 3log4n+1 = 3log3n*log43+1 = 3nlog43

代入得:

t(n) < 4n + 3nlog43,即t(n) = o(n)。

三、套用公式法

這個方法為估計形如:

t(n) = at(n/b) + f(n)

其中,a≥1和b≥1,均為常數,f(n)是乙個確定的正函式。在f(n)的三類情況下,我們有t(n)的漸近估計式:

1.若對於某常數ε>0,有f(n) = o(nlogba-ε),則t(n) = o(nlogba)

2.若f(n) = o(nlogba),則t(n) = o(nlogba*logn)

3.若f(n) = o(nlogba+ε),且對於某常數c>1和所有充分大的正整數n,有af(n/b)≤cf(n),則t(n)=o(f(n))。

設t(n) = 4t(n/2) + n,則a = 4,b = 2,f(n) = n,計算得出nlogba = nlog24 = n2,而f(n) = n = o(n2-ε),此時ε= 1,根據第1種情況,我們得到t(n) = o(n2)。

這裡涉及的三類情況,都是拿f(n)與nlogba作比較,而遞迴方程解的漸近階由這兩個函式中的較大者決定。在第一類情況下,函式nlogba較大,則t(n)=o(nlogba);在第三類情況下,函式f(n)較大,則t(n)=o(f (n));在第二類情況下,兩個函式一樣大,則t(n)=o(nlogba*logn),即以n的對數作為因子乘上f(n)與t(n)的同階。

但上述三類情況並沒有覆蓋所有可能的f(n)。在第一類情況和第二類情況之間有乙個間隙:f(n)小於但不是多項式地小於nlogba,第二類與第三類之間也存在這種情況,此時公式法不適用。

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