poj1275 差分約束系統

1.思路

沒什麼好講的，劉汝佳的書《演算法藝術與資訊學競賽》講得很好，不過對於初次接觸差分約束系統的人來講還是很費解，可以去參考《演算法導論》，裡面有很詳細的約束圖的構建過程。這裡講一下我的個人理解。s[i]為從0至i時刻僱傭的人數，t[i]為i時刻應聘的人數，r[i]為i至(i+1)%24時間段需要的最少人數，得出約束條件：

s[i]-s[i-1]>=0

s[i]-s[i-1]<=t[i] 〈==〉s[i-1]-s[i]>=-t[i]

s[i]-s[-1]>=sum

s[i]-s[j]>=r[i] i>j,i=(j+8)mod24

s[i]-s[j]>=r[i]-sum i

i的範圍應該是1~23，因為-1時刻是沒有定義的，但是這樣的話0時刻的約束s[0]>=0,s[0]<=t[0]就沒有考慮在內，為了引入這兩個約束條件我們設s[-1]=0,則s[0]=s[0]-s[-1]>=0,

s[0]-s[-1]<=t[0],因此可以把i的範圍調整為0~23，這樣可以避免對0時刻的特殊討論！我們可以把-1作為乙個參考點s，,23作為目標點t,我取-1為24，連線參考點至每乙個點一條邊，邊權為0（因為每個點都有可能約束其它點），相當於給每個點賦了乙個基礎值d=0，個人覺得隨便賦值多少都沒關係。導論上也說了，若為約束系統的解，則也是系統的解，只不過我們這裡是要求乙個最少的人數因此取為d=0。最後從小到大列舉sum，求約束系統裡單源s至其它點的最長路（因為這裡取的都是大於關係，舉乙個最簡單的例子a>=b同時對c約束,滿足c>=a,c>=b，顯然這時我們要取c>=a才能使c>=a,c>=b這兩個條件都滿足！相反的若取小於等於關係則是求單源最短路！導論上就是這樣的。）若不存在正圈（通過走正圈約束永遠無法得到全部滿足）則有解退出，否則無解！

有個地方很費解：用spfa()會錯！

2.個人**

#include#includeusing namespace std;
// freopen("data.in","r",stdin);
#include#include#define n 30
#define inf 1000000000//!!
#define wt 8//!!
struct graph
}for(u=0; u<=_v; u++)mat[s][u]=0;
memset(tt,0,sizeof(tt));
}void input()}}
}return true;
}void set()
}bool bellmanford()
int m, a;
cin >> m;
for (int i = 0; i < m; i++)
int sum;
for (sum = 0; sum <= m; sum++) //列舉sum
for (int i = 24; i > 0; i--)
if (s[i-1] + t[i] < s[i])
if (s[24] - sum < s[0])
for (int i = 1; i <= 24; i++)
if (i <= 8 && s[i] < s[i+16] + r[i] - sum)}}
if (count < m && s[24] >= sum)
break;
}if (sum > m)
cout << "no solution" << endl;
else
cout << sum << endl;
}return 0;
}

3.二分列舉的話用下面這段**（直接列舉141ms，黑書上的是47ms，二分列舉16ms）。

void set(int mid,int sign)
}bool sodc(int &cost)
else right=mid;
}else
set(mid,1);
}}

4.拓展及補充

一、若有重邊該怎麼取？

當然這個題目不會，可是如果改3小時的，如下面的案例：13

1 0 011

從小到大列舉答案當ans=1時

g[2][1]有兩個取值0和-1。這時該怎麼取呢？或者這時差分約束已經不適應了？

我構的圖源點s=3,目標點t=2

構出的圖矩陣表示為

-inf 0 0 -inf

0 -inf 0 -inf

-inf 0/-1 -inf -inf

0 0 0 0

最後一行零表示源點到每乙個的距離為0，-inf為不可達，自身與自身的不可達是為了spfa時不加判斷語句v!=u。

二、還有我對從源點s至目標t的邊的理解是dis[t]=ans>0在圖中可能會構成正圈，也就是無解的狀態，但是不加這條邊的話，本來有正圈的（無解）會當成了無正圈(有解）輸出！

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