Fibonacci（斐波納契）數列求解 zz

unsigned long fib(int n)
else 
}

遞迴演算法與定義公式十分吻合，容易理解，但計算過程存在大量重複的運算，時間複雜度達到了o(2^n)，使用的記憶體空間也隨著函式呼叫棧的增長而增長。這顯然不適於實用的程式。

2、表驅動的遞迴法。這裡不提純粹的表驅動法，因為對於項數未知的fibonacci數列開啟大片的空間來換取時間未免不值得且不負責。我們只是為了消除遞迴法中大量重複的運算，可以將已經計算過的中間值存入乙個表，已備後續使用：

#define max_log 20
static unsigned long logs[max_log] = ;
unsigned long fib(int n)
else if (n < max_log && logs[n] != 0) else 
}

當n小於儲存的表長時，由於每個中間值只計算一次，時間複雜度降為o(n)。但隨著n的增大，要想維持o(n)的時間複雜度，就必須擴大儲存的表長，這就造成了儲存空間的浪費。

3、迭代法。求fibonacci數列第n項時雖然要用到前面兩項的值，但它們僅作為臨時計算的中間值，不作為結果輸出，因此無保留的必要，完全可以轉化成迭代法求解：

unsigned long fib(int n)
else 
return c;
}}

迭代法的時間複雜度為o(n)，使用的記憶體空間也不會動態**。個人認為fibonacci數列更適宜作為迭代法而非遞迴法的典例出現在教材上。

下面給出兩種數學性較強的演算法。考慮到表達的簡潔性，用matlab實現：

4、轉移矩陣法。此方法通常見於線性代數中的markov過程示例。fibonacci數列第n項與第n-1項可以通過轉移矩陣的n-1次迭代求出：

**如下：

function y = fib(n)
first = [1; 0];
trans = [1 1; 1 0];
last = trans ^ (n - 1) * first;
y = last(1, 1);
end

此演算法的時間複雜度相當於計算矩陣乘方的時間複雜度。在計算2階矩陣n次方時，如果直接按矩陣乘法定義式展開，不加特別優化，其時間複雜度為o(n)。

5、通項公式法。fibonacci數列的通項公式如下（證明略）：

利用通項公式可以得到fibonacci數列的任何項：

function y = fib(n)
sr5 = sqrt(5);
y = uint32((((1 + sr5) / 2) ^ n - ((1 - sr5) / 2) ^ n) / sr5);
end

該方法的時間複雜度貌似為o(1)，但我們還應該考慮乘方運算的時間消耗。不加特別優化時，用乘法實現n次乘方的時間複雜度為o(n)。考慮到浮點數計算效率和精度問題，此方法在計算機實現時不如轉移矩陣法。

下面再給出兩種對計算機實現有特別意義，但同時有一定侷限性的實現方法（只是實現方法，不能稱為新的演算法）。其中使用了一些c++程式設計技巧，對使用其它語言實現也有一定的參考價值：

6、模板元程式設計法。通常我們在c++中使用模板，僅限於類模板與函式模板。事實上c++支援模板元程式設計，理論上可以在編譯時執行任何計算（甚至包含選擇、迴圈、遞迴等結構）。**如下：

#define fib(n) fibt::val
templatestruct fibt;};
template<> struct fibt<0>;};
template<> struct fibt<1>
;};

我們用乙個結構體作為模板的載體，用乙個列舉值儲存運算結果。其中第乙個模板為基本遞迴過程（使用遞迴演算法是為了說明的簡便，完全可以用其它演算法替代，以加速編譯過程），後兩個模板為n=0、1時的模板特化。通過#define語句將模板呼叫簡寫成類似函式呼叫的方式。程式在編譯時運算所需的fibonacci數列項，將結果作為常量嵌入編譯好的程式。執行時直接使用結果，時間複雜度真正地變成了o(1)。但這一方法最大的侷限就是只能對常量嵌入，程式中出現諸如計算fib(i++)的情況則無能為力。儘管如此，這比在**中手工計算並寫入所需的值要直觀準確，比通過純粹的表驅動法「空間換時間」要方便快捷。

7、函式物件法。此方法主要用於c++ stl程式設計的通用演算法方面，其執行行為也有別於以上其它方法：

class fib
unsigned long operator()()
else 
}private:
int a, b, n;
};

這個函式類物件的行為可以理解為乙個「fibonacci數列發生器」，其測試性呼叫如下，程式將依次列印

void test(int i)
while (i--);
}

函式物件具有與函式指標類似的行為，同時又能儲存自身的一些屬性，因此常用於stl通用演算法程式設計。但針對單個的fibonacci數列項求值，靈活性不如一般的方法。

希望讀者能夠從上面的演算法分析中舉一反三，有所領悟。

參考資料：

1、bruce eckel，thinking in c++ volume 2: practical programming，機械工業出版社，2006

2、william j. collins，data structures and the standard template library，機械工業出版社，2003

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斐波納契數列 fibonacci

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