b
樹
即二叉搜尋樹： 1.
所有非葉子結點至多擁有兩個兒子（
left
和right）；
2.所有結點儲存乙個關鍵字； 3.
非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的子樹，右指標指向大於其關鍵字的子樹； 如：
b樹的搜尋，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麼就命中；否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入右兒子；如果左兒子或右兒子的指標為空，則報告找不到相應的關鍵字； 如果
b樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那麼
b樹的搜尋效能逼近二分查詢；但它比連續記憶體空間的二分查詢的優點是，改變
b樹結構（插入與刪除結點）不需要移動大段的記憶體資料，甚至通常是常數開銷； 如：
但b樹在經過多次插入與刪除後，有可能導致不同的結構：
右邊也是乙個
b樹，但它的搜尋效能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導致不同的樹結構索引；所以，使用
b樹還要考慮盡可能讓
b樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就是所謂的「平衡
」問題；
實際使用的
b樹都是在原
b樹的基礎上加上平衡演算法，即「平衡二叉樹」；如何保持
b樹結點分布均勻的平衡演算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡演算法是一種在
b樹中插入和刪除結點的策略；
b-
樹
是一種多路搜尋樹（並不是二叉的）： 1.
定義任意非葉子結點最多只有
m個兒子；且
m>2；
2.根結點的兒子數為
[2, m]；
3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為
[m/2, m]；
4.每個結點存放至少
m/2-1
（取上整）和至多
m-1個關鍵字；（至少
2個關鍵字） 5.
非葉子結點的關鍵字個數
=指向兒子的指標個數-1；
6.非葉子結點的關鍵字：
k[1], k[2], …, k[m-1]
；且k[i] < k[i+1]；
7.非葉子結點的指標：
p[1], p[2], …, p[m]
；其中p[1]
指向關鍵字小於
k[1]
的子樹，
p[m]
指向關鍵字大於
k[m-1]
的子樹，其它
p[i]
指向關鍵字屬於
(k[i-1], k[i])
的子樹； 8.
所有葉子結點位於同一層；
如：（m=3）
b-樹的搜尋，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為空，或已經是葉子結點； b-
樹的特性： 1.
關鍵字集合分布在整顆樹中； 2.
任何乙個關鍵字出現且只出現在乙個結點中； 3.
搜尋有可能在非葉子結點結束； 4.
其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢； 5.
自動層次控制；
由於限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有
m/2個兒子，確保了結點的至少利用率，其最底搜尋效能為：
其中，m為設定的非葉子結點最多子樹個數，
n為關鍵字總數； 所以
b-樹的效能總是等價於二分查詢（與
m值無關），也就沒有
b樹平衡的問題； 由於
m/2的限制，在插入結點時，如果結點已滿，需要將結點**為兩個各佔
m/2的結點；刪除結點時，需將兩個不足
m/2的兄弟結點合併；
b+
樹
b+樹是
b-樹的變體，也是一種多路搜尋樹： 1.
其定義基本與
b-樹同，除了： 2.
非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同； 3.
非葉子結點的子樹指標
p[i]
，指向關鍵字值屬於
[k[i], k[i+1])
的子樹（
b-樹是開區間）； 5.
為所有葉子結點增加乙個鏈指標； 6.
所有關鍵字都在葉子結點出現；
如：（m=3）
b+的搜尋與
b-樹也基本相同，區別是
b+樹只有達到葉子結點才命中（
b-樹可以在非葉子結點命中），其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢； b+
的特性： 1.
所有關鍵字都出現在葉子結點的鍊錶中（稠密索引），且鍊錶中的關鍵字恰好是有序的； 2.
不可能在非葉子結點命中； 3.
非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是儲存（關鍵字）資料的資料層； 4.
更適合檔案索引系統；
b*
樹是b+
樹的變體，在
b+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；
b*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為
(2/3)*m
，即塊的最低使用率為
2/3（代替
b+樹的
1/2）； b+
樹的**：當乙個結點滿時，分配乙個新的結點，並將原結點中
1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；
b+樹的**只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標； b*
樹的**：當乙個結點滿時，如果它的下乙個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製
1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標；
所以，b*樹分配新結點的概率比
b+樹要低，空間使用率更高；
小結
b樹：二叉樹，每個結點只儲存乙個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於走右結點； b-
樹：多路搜尋樹，每個結點儲存
m/2到
m個關鍵字，非葉子結點儲存指向關鍵字範圍的子結點；
所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中； b+
樹：在b-
樹基礎上，為葉子結點增加鍊錶指標，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；
b+樹總是到葉子結點才命中； b*
樹：在b+
樹基礎上，為非葉子結點也增加鍊錶指標，將結點的最低利用率從
1/2提高到
2/3；
樹基礎知識
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