基變換與座標變換

近來正在看《3d math primer for graphics and game development》——《3d數學基礎：圖形與遊戲開發》，清華大學出版社，當看到第八章——矩陣與線性變換時，不禁產生疑問：當繞x軸旋轉時，求出旋轉後的基向量矩陣rx：

| 1 0 0 |

rx= [p' q' r'] = | 0 cos@ sin@ |

| 0 -sin@ cos@ |

基中@為繞x軸順時針旋轉的角度；得到這個旋轉矩陣之後有什麼作用呢？

參考《線性代數》的書中基變換與座標變換那一章中有這樣的描述：在n維線性空間v中，任意n個線性無關的向量都可以作為v的一組基，對於不同的基，同乙個向量的座標是不同的。那麼同一向量在不同的基中的座標有什麼關係呢？換句話說：隨著基的改變，向量的座標怎樣改變呢？

基變換公式與過渡矩陣：根據基變換公式的定義：(β1　β2 .....βn) = (α1　α2 ......αn) p，其中矩陣p為由基α1　α2 ......αn到基β1　β2 .....βn的過渡矩陣。過渡矩陣p是可逆的。

根據定義對應上述繞x軸轉的矩陣可知：原來的基α1　α2 ......αn是單位矩陣，通過旋轉變換到新的基β1　β2 .....βn，基中新的基為矩陣rx，根據基變換的定義知：β　= αp，因為原來的基矩陣為單位矩陣，所以得到過渡矩陣即為rx。

有了過渡矩陣p，就可求出同一向量在新的基即座標系中的座標，只需求出過渡矩陣p的逆矩陣，再和原座標做矩陣的乘法即可。