ibm ponder this上個月的題目比較有趣：我在心裡面想乙個2到166之間的整數（包括2和166），你的任務是用盡可能少的是非問句（我只能回答是或者否）猜出這個數除1以外的最小約數是多少。
(1) 尋找一種策略使得在最壞情況下猜到答案的詢問次數最少。
(2) 尋找一種策略使得在平均情況下猜到答案的期望詢問次數最少。
第乙個問題很容易回答。雖然2到166之間的整數一共有165個，但它們的最小約數（以後我們說的「最小約數」都是指的不包括1的最小約數）只有38種。因此，事實上你只需要用二分法在38個可能的答案當中找出乙個就可以了。由於2^5=32，2^6=64，因此最壞情況下需要6次詢問才能保證猜到。
真正困難的是後面乙個問題：要想讓平均猜測次數盡可能少，我們該從**入手呢？
為了方便思考，不妨讓我們把這個問題簡化一下。假設題目條件中我心裡想的數字範圍是2到10之間的自然數，由於這些數的最小約數分別是2、3、2、5、2、7、2、3、2，只有四種情況，因此只需要兩個問題即可問出答案——比方說，第一次問「最小約數是2或3嗎」，回答「是」則再問「最小約數是2嗎」，回答「否」則問「最小約數是5嗎」，即可保證知道答案。若採用這種策略的話，不管我心裡想的是什麼數，你總是需要恰好兩次猜測才能猜出答案。但事實上，由於最小約數是2的可能性遠遠大於其它的數，因此減少最小約數是2時的猜測次數，增加最小約數是5和7時的猜測次數，雖然最壞情況下需要的猜測次數變多了，但我們或許能得到更優的平均猜測次數。我們可以這樣做：先問「最小約數是2嗎」。如果回答是，則直接猜到，因此當我心裡想的數是2、4、6、8、10中的乙個時，猜測次數僅為一次。如果回答否，則問題變為了下述子問題：當我心裡所想的數為3、5、7、9時，平均需要多少次猜測才能猜出它的最小約數？對於這個子問題，我們同樣發現，由於最小約數為3的概率較大，因此直接問「最小約數是3嗎」更好。採取這種策略，我們可以看到：當我心裡想的數是2、4、6、8、10中的乙個時，只需要一次猜測；當我心裡想的數是3或者9時，需要兩次猜測；當我心裡想的數是5或者7時，一共需要三次猜測。因此，採用這種策略平均需要(5*1 + 2*2 + 1*3 + 1*3)/9 = 15/9 ≈ 1.67次猜測。
覺得上面的圖是不是很熟悉？當你把上圖從下面倒著往回推時，你會發現這是乙個經典的貪心演算法問題。我們把擁有相同最小約數的數放進乙個集合，則得到的四個集合分別為、、、。把兩個集合合併成乙個大集合，直觀意義就是這兩個集合是由乙個大集合通過一次詢問劃分出來的，此時總的詢問次數就增加了兩個集合總的元素個數那麼多。借用類似於huffman編碼的演算法，我們立即想到，不斷合併當前元素個數最少的集合，得到的總猜測次數就應該是最優的。利用mathematica求解原問題，我們可以得出，對於2到166的情況，平均494/165=2.9939...≈3次詢問就能找到那個最小約數。
當你聯想到了huffman編碼時，你會驚奇地發現，原問題完全等價於huffman編碼問題。注意到「猜到最小約數」的意思就是說，每乙個可能的答案都對應著乙個yes/no序列（也就是乙個01串），且任一串行都不能成為另乙個序列的字首。而這些最小約數的頻次是不同的，因此我們需要給所有可能的最小約數進行二進位制編碼，使得它們的加權長度最短。這就是乙個典型的huffman編碼問題了。
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