離散對數問題

離散對數公鑰加密演算法是目前最為熱門的公鑰加密演算法 ，其安全性要遠遠高於基於大數分解的rsa演算法。

離散對數問題可以描述為：給定乙個質數p，和有限域zp上的乙個本原元a，對zp上整數b，尋找唯一的整數c，使得a^c≡b(mod p)。一般的，如果仔細選擇p，則認為該問題是難解的，且目前還沒有找到計算離散對數問題的多項式時間演算法。為了抵抗已知的攻擊，p至少應該是150位的十進位制整數，且p-1至少有乙個大的素數因子。

下面是乙個使用離散對數的例子：

alice和bob首先商議好p的值，本例假設為p=2579，則本原元為a=2。

假設alice要傳送訊息x=1299給bob，則

1）bob選擇隨機數r=765作為自己的私鑰，計算q=2^r mod p=2^756 mod 2579=949，作為公鑰給alice；

2）alice選擇隨機數k=853，計算y=2^k mod p=2^853 mod 2579=435，作為公鑰給bob；

3）alice計算密文e=x*q%k mod p=1299*949^853 mod 2579=2396，並傳遞給bob；

4）bob接收到密文後，計算x=e*(y^r)^(-1) mod p=2396*(435^765)^(-1) mod 2579=1299，從而得到原文。

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