特殊計數序列

1.

catalan數：

cn = 1/(n+1) * c(2n, n)

，cn = (4n-2)/(n+1) *cn-1 a.

內部插入不相交對角線，將

n+1條邊的凸多邊形分割為三角形的計數b.n

個+1和n

個-1構成的序列

a，對於所有

k = 1, 2, 3, .. ,2n

，滿足∑ak>=0

的序列個數

c.擬

數cn

*=n!cn-1。cn

*=(4n-6) cn-1*，

cn*=(n-1)!c(2n-2, n-1)

2.差分序列和

stirling數a.

對於一般項是n的

p次多項式，對於

n>=0，∆

p+1hn=0

b.線性性：

∆p(c*gn+ d*fn) = c*∆

pgn+ d*∆

p fn)

c.滿足差分表第0條對角線為序列

c的序列h滿足

hn= c0*c(n, 0) + c1*c(n, 1) +…+ cn*c(n, p) d.

用第0條對角線計算

∑np的值，

p為定製，n迴圈

設在p的情況下，第

0條對角線上的數分別為

c(p, 0), c(p, 1)… 則

np=c(p, 0) *c(n, 0) + c(p, 1)*c(n, 1) + … +c(p, p)*c(n, p)

=∑(k=0..p) ( c(p, k)/k! * [n]k) 其中

[n]k= n!/k! (k>0)

或1 (k=0) 令

s(p, k) = c(p, k)/k! 則

np= ∑(k=0..p) ( s(p, k) * [n]k)

s(p, k)

數

e.第二類

stirling

數滿足pascal

型遞推關係

s(p,k) = k*s(p-1, k) + s(p-1, k-1)

它的含義是將

p個可區分的元素分到

k個不可分別的非空集合的

計數如果集合可分別，則為

s(p, k) * k! f.

bell

數：

bp是將

p個不同元素分入非空不可分辨集合的計數

bp= ∑(k = 0..p) s(p, k)

g.第二類

stirling

數用[n]0, [n]1…[n]p求np

。第一類stirling

數由

n0, n1… np

求[n]p

。[n]p = (n)(n-1)(n-2)..(n-k+1) = ∑(k=0..p) (-1)p-ks(p, k)nk

第一類stirling

數是將p

個物體排成

k個非空的迴圈佇列的方法數

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