原創 傅利葉分析中幾個容易混淆的概念

2021-05-22 10:18:43 字數 1958 閱讀 9752

傅利葉分析可以說是訊號處理最重要的基石之一。但傅利葉級數、傅利葉變換、離散時間傅利葉變換、離散傅利葉變換等幾個有點像又有點不像的概念,不僅經常搞得初學者暈頭轉向,有時候讓老手也有點糊塗。

在開篇之前,先簡要介紹一下傅利葉分析有關的八卦舊聞。早在

19世紀初,法國數學家、物理學家傅利葉在研究熱傳導問題的時候,就提出週期訊號可以分解為許多個正弦函式的疊加。

1807

年,他把這個想法寫成一篇**投給了法蘭西科學院。當時負責這篇文章審稿的有兩位世界著名的法國數學家:拉普拉斯和拉格朗日。審稿的結果是拉普拉斯認為可以發表,拉格朗日認為不連續的訊號如方波訊號不能用三角函式分解。法國科學院懾於拉格朗日的威名,最後拒絕了這篇**。由於隨後傅利葉先是忙於政治活動,後來又隨拿破崙遠征埃及,在法國大革命後又設法免遭上斷頭台之苦,傅利葉根本無暇顧及這篇**。在**被拒絕

15年之後,法蘭西科學院又刊出了這篇**,因為當時不同意**發表的拉格朗日去世了。正是這篇**,奠定了傅利葉分析在訊號處理歷史上的地位。

1、

傅利葉級數

在高等數學中就已經知道,在滿足一定的條件下,任何乙個週期訊號都可以分解為正弦訊號的疊加。在高等數學中,這種分解就叫傅利葉級數。在訊號處理學習的最初階段,也是從這個概念出發,開始輸入到訊號處理的傅利葉世界。在訊號處理中,週期連續訊號的傅利葉分析稱為傅利葉級數。此時,在傅利葉分析之前,訊號是週期,連續的,在之後,結果是離散的。

2、

傅利葉變換

對於連續訊號,如果訊號不是週期的,其傅利葉分析結果又是如何呢?非週期訊號可以等效為週期為無窮大的週期訊號。於是,由傅利葉級數出發,利用極限的有關概念,可以推導出非週期訊號的傅利葉分析結果,這就是傅利葉變換。再囉嗦一句,非週期連續訊號的傅利葉分析稱為傅利葉變換。在傅利葉分析之前,訊號是非週期的,連續的,在之後,結果也是連續的。

3、

離散時間傅利葉變換

傅利葉級數和傅利葉變換都是針對連續訊號而言的,那麼對於數碼訊號而言,是否有對應的傅利葉分析呢?答案是肯定的,這就是離散時間傅利葉變換(

dtft

)和離散傅利葉變換(

dft)。

對非週期離散訊號的傅利葉分析稱為離散時間傅利葉變換。在傅利葉分析之前,訊號是非週期的,離散的,在之後,結果是連續的。

4、

離散傅利葉變換

對週期離散訊號的傅利葉分析稱為離散傅利葉變換。在傅利葉分析之前,訊號是週期的,離散的,在之後,結果是離散的。如果按照前面三種分析的命名,離散傅利葉變換叫離散傅利葉級數似乎更為妥當。但由於歷史的原因,大家習慣把這種傅利葉分析稱為離散傅利葉變換。當然,關於

dft是否隱含著訊號週期性的問題,也有一些爭論。有的認為進行

dft分析就意味著預設離散訊號是週期的,有的則認為離散訊號不一定要看成是週期的。此處採取預設離散訊號週期性的說法,主要是基於如下理由:如果把

dft看做是對

dtft

結果在頻域的取樣的話,那麼根據訊號系統的有關理論可知,頻域的取樣等效於時域的週期延拓,這樣,離散訊號自然變成週期的了。在實際分析中,將

dft看做是對

dtft

結果在頻域的取樣是合乎情理的。

這上面的四個與傅利葉分析有關的概念,最重要的是

dft。因為前面三種分析都需要假定訊號的時域及頻域都是無限長的。從概念上講,雖然

dft也需要時域頻域無限長,但由於時域頻域都是週期的,因此只需要乙個週期的資訊即可。另外,由於計算機等數字裝置只能處理數碼訊號,也即是要求無論是時域還是頻域,都要是離散的。因此,

dft在實踐中占有最重要的地位。傅利葉級數,傅利葉變換,離散時間傅利葉變換這三個概念則更多的用於理論分析中。

原創 傅利葉分析中幾個容易混淆的概念

傅利葉分析可以說是訊號處理最重要的基石之一。但傅利葉級數 傅利葉變換 離散時間傅利葉變換 離散傅利葉變換等幾個有點像又有點不像的概念,不僅經常搞得初學者暈頭轉向,有時候讓老手也有點糊塗。在開篇之前,先簡要介紹一下傅利葉分析有關的八卦舊聞。早在 19世紀初,法國數學家 物理學家傅利葉在研究熱傳導問題的...

PHP中幾個容易混淆的函式的區別

php中有一些函式的功能十分接近,容易造成混淆。雖然功能相當,但在細節問題上可能會有很大出入。所以,如果使用不當,可能會造成一些不必要的麻煩。以下整理了幾個日常使用中容易混淆的函式,以備查閱。1.echo print print r printf vprintf和sprintf echo用於輸出乙個...

HTTP快取中的幾個容易混淆的概念

在http快取中,有幾個容易混淆的概念,摘錄極客實踐的http協議學習教程 比如,伺服器設定 max age 5 但因為網路質量很糟糕,等瀏覽器收到響應報文已經 過去了 4 秒,那麼這個資源在客戶端就最多能夠再存 1 秒鐘,之後就會失效。max age 是 http 快取控制最常用的屬性,此外在響應...