完備性
在數學及其相關領域中，乙個物件具有完備性，即它不需要新增任何其他元素，這個物件也可稱為完備的或完全的。
正交的完備性
不完備性定理
2023年數學家庫爾特·哥德爾證明了他的著名的有關數學本性的不完備性定理。該定理陳述，在任何公理化形式系統。譬如現代數學中，總有在定義該系統 的公理的基礎上既不能證明，也不能證偽的問題。換言之，哥得爾證明了，存在有任何一族規則或者步驟（都）不能解決的問題。 哥得爾定理對數學立下了基本的極限。它極大**動了科學界，因為它拋棄了被廣泛接受的信念，即數學是乙個基於單一邏輯基礎協調而完備的系統。在自然中 還存在決定性的但卻變成混沌的演化，人們在實際上無法跟蹤這種演化。哥得爾定理、海森伯的不確定性原理以及混沌性，形成科學知識的侷限性的核心，這類侷限 性只是在20世紀才被意識到。
哥德爾完備性定理
哥德爾完備性定理是數理 邏輯中重要的定理，在 2023年由庫爾特·哥德爾首先證明。它的最熟知的形式聲稱在一階謂詞演算中所有邏輯上有效的公式都是可以證明的。 上述詞語「可證明的」意味著有著這個公式的形式演繹。這種形式演繹是步驟的有限列表，其中每個步驟要麼涉及公理要麼通過基本推理規則從前面的步驟獲 得。給定這樣一種演繹，它的每個步驟的正確性可以在演算法上檢驗(比如通過計算機或手工)。 乙個公式被稱為「邏輯上有效」的，如果它在這個公式的語言的所有模型中都為真。為了形式的陳述哥德爾完備性定理，你必須定義這個上下文中詞語「模型」 的意義。這是模型論的基本定義。 在另乙個方向上，哥德爾完備性定理聲稱一階謂詞演算的推理規則是「完備的」，在不需要額外的推理規則來證明所有邏輯上有效的公式的意義上。完備性的逆 命題是「可靠性」。一階謂詞演算的實情是可靠的，就是說，只有邏輯上有效的陳述可以在一階邏輯中證明，這是可靠性定理斷言的。 處理在不同的模型中什麼為真的數理邏輯分支叫做模型論。研究在特定形式系統中什麼為可以形式證明的分支叫做證明論。完備性定理建立了在這兩個分支之間 的基本聯絡。給出了在語義和語法之間的連線。但完備性定理不應當被誤解為消除了在這兩個概念之間的區別；事實上另乙個著名的結果哥德爾不完備定理，證實了 對「在數學中什麼是形式證明可以完成的」有著固有的限制。不完備定理的名聲與另一種意義的「完備」有關，參見模型論。 更一般版本的哥德爾完備性定理成立。它生成對於任何一階理論 t 和在這個理論中的任何句子 s，有乙個 s 的自 t 的形式演繹，當且僅當 s 被 t 的所有模型滿足。這個更一般的定理被隱含使用，例如，在乙個句子被證實可以用群論的公理證明的時候，通過考慮乙個任意的群並證實這個句子被這個群所滿足。 完備性定理是一階邏輯的中心性質，不在所有邏輯中成立。比如二階邏輯就沒有完備性定理。 完備性定理等價於超濾子引理，它是弱形式的選擇公理，在不帶有選擇公理的 zermelo–fraenkel 集合論中有著等價的可證明性。
證明對定理的最初證明的解釋請參見哥德爾完備性定理的最初證明。 在現代邏輯課本中，哥德爾完備性定理通常使用 leon henkin 的證明而不是哥德爾最初的證明。
謂詞邏輯完備性定理和演繹定理
（1）完備性指的是，任一普遍有效的謂詞公式，在該公理系統裡是否都可得到證明。一般說來各種完備性的證明常是較為困難的，謂詞邏輯的完備性較命題邏輯完備性證明複雜得多，2023年首先由godel給出了謂詞邏輯完備性的證明，隨後又有一些不同的證明方法。
完備性定理：謂詞邏輯任一普遍有效的公式都是可以證明的。
這個定理相當於謂詞邏輯中，任一公式a或是可以證明的，或是a是可滿足的。
（2）演繹定理
公理系統都是從作為公理的普遍有效的公式出發，使用推理規則匯出新的定理（仍是普遍有效的公式）的。問題是，如果a不是普遍有效的公式，對a仍使用揄規則得b，那麼│-a→b 還成立嗎？這就是演繹定理回答的問題。
和命題邏輯相比，在謂詞邏輯裡除代入規則處，前件存在和後件概括規則也會導致 的不成立，如果不是普遍有效的。
演繹定理 在謂詞邏輯系統中，如果從前提a經使用推理規則得b，而在推理過程中不使用代入規則、前件存在和後件概括規則時，只要a→b是合式公式必有│-a→b成立。
一階邏輯是完備的，godel又證明了算術系統的不完備性，總結一下
所謂邏輯的完備性是指，邏輯上 （語義）可以推出的命題，在該系統下是形式可推演的，即語義上正確的命題，在語法上是可以利用語法規則可以推導的，如果乙個邏輯系統是完備的，則該邏輯系 統已經可以強到可以推出任何正確的命題。設想一下，如果如果有乙個完備的系統來刻畫我們周圍的世界，如果起了什麼爭論，不要吵，來推演一下看誰是正確的 ^_^，多麼美好的事情（如果是那樣，還有什麼意思？）但是，在偉大的godel沒有給出邏輯的不完備性證明以前，很多的數學家一直在努力。godel的 證明太創造性了，不過不知道他的證明是不是有從羅素悖論那裡來的靈感，還有不可計算問題的證明，本質上都是找到了自相矛盾，本質都可以歸結到悖論上面。
完備性的證明要涉及語義與語法兩個方面，如何找到一種方法來聯絡兩者？
命題邏輯的完備性的證明 裡面，引入了協調的概念。所謂協調是指乙個公式集合不會形式推出自相矛盾的命題。通過證明每個協調的公式集合，存在乙個賦值使得公式集合裡面每個公式為 真，而邏輯上推出是用賦值定義的，到此可以利用乙個簡單的反證證明一階邏輯的完備性。協調性的引入聯絡了語法與語義，使得證明簡潔。
命題邏輯的完備性證明是 簡單的，因為命題邏輯只涉及到賦值，而一階謂詞邏輯不同，謂詞邏輯裡面的常元，關係，函式，自由變元必須要有乙個解釋，然後對各約束變元進行賦值，這就比 較麻煩了。如果對於乙個公式集合，我們可以構造乙個模型，使得在這個模型下面該系統是完備的，則該系統是完備的，因為我們總可以找到一種解釋使得它完備。 類似於文法的二義性，只有當無論怎麼樣都找不到非二義性文法時才說它時二義性的。所以我們的任務就是來找到這樣一種解釋，來構造我們想要的模型。見證集合 的引入是關鍵，所謂見證集合是指乙個語言上的字符集，該字符集裡的字元"見證"了該語言上的乙個極大協調理論（即極大協調公式集合）裡的含有乙個自由變元 的公式，即含有乙個自由變元的公式，可以將該自由變元解釋到見證集合上面使得該公式成立（？）通過定義見證集合上的乙個等價關係：對見證集合中的兩個元素 有關係iff這兩個元素語法上是等價的。通過這個等價關係將見證集合劃分為等價類，這個等價類的集合就是我們將常元以及自由變數解釋到的集合，對於有等價 關係的常元我們把它們解釋到同乙個等價類中;若r為l上的n元關係，解釋r為等價類之間的關係，等價類之間有關係r當且僅當從每個等價類中取乙個元素後有 關係，此時根據公式集合的極大性，r（c1,c2,....,cn）在這個公式集合中！對函式符號f，f作用的結果為對等價類中元素的結果。
我們是通過見證集合將語法與語義聯絡起來了。再回憶一下見證集合的作用，如果m可以邏輯推出公式a，則a在解釋i下成立，而對應與a的每種形式，由於見證 集合的存在，使得我們總可以找到公式集合中的乙個公式，使得這個公式語法與a等價，即a在公式集合中，至此也就完成了一階謂詞邏輯完備性的證明。
由此可見，見證集合的引入是關鍵。
完備性定理之間的等價證明
a,b 被 覆蓋，對於 forall s subset 使得 s 有限，覆蓋 a 這樣的 s 總能找到 定義 b b 有界，故有上確界。下證 b sup b 反證法 設上確界為 y 0 b 則 exist i 使得 y 0 in i 故 exist varepsilon 0 使得 y 0 varep...
數理邏輯 可靠性與完備性
命題邏輯與一階邏輯都有可靠性和完備性。數理邏輯研究推理，研究前提和結論之間的可推導關係 前提和結論之間的可推導關係是由它們的真假值之間的關係確定 即 前提的真蘊涵結論的真 用賦值 在命題邏輯中是真假賦值 定義的邏輯推論刻畫了可推導性 邏輯推論是語義的概念 用有限條形式推演規則定義的形式推演涉及公式的...
系統檔案 目錄完備性檢查函式
系統檔案 目錄完備性檢查 param path 檔案 夾 絕對路徑名 param isdir true 為資料夾，false 為檔案 param initstr 此引數為檔案初始化的內容，預設為null return true 表示成功，false 表示失敗 sample bool sysacces...