km演算法與最佳匹配

km演算法

該演算法是通過給每個頂點乙個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點xi的頂標為a[ i ]，頂點yj的頂標為b[ j ]，頂點xi與yj之間的邊權為w[i,j]。在演算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，a[ i ]+b[j]>=w[i,j]始終成立。

km演算法的正確性基於以下定理：

若由二分圖中所有滿足a[ i ]+b[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那麼這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。

首先解釋下什麼是完備匹配，所謂的完備匹配就是在二部圖中，x點集中的所有點都有對應的匹配或者是

y點集中所有的點都有對應的匹配，則稱該匹配為完備匹配。

這個定理是顯然的。因為對於二分圖的任意乙個匹配，如果它包含於相等子圖，那麼它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那麼它的邊權和小於所有頂點的頂標和。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。

初始時為了使a[ i ]+b[j]>=w[i,j]恆成立，令a[ i ]為所有與頂點xi關聯的邊的最大權，b[j]=0。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。

我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個x頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是x頂點。現在我們把交錯樹中x頂點的頂標全都減小某個值d，y頂點的頂標全都增加同乙個值d，那麼我們會發現：

1）兩端都在交錯樹中的邊(i,j)，a[ i ]+b[j]的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。

2）兩端都不在交錯樹中的邊(i,j)，a[ i ]和b[j]都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。

3）x端不在交錯樹中，y端在交錯樹中的邊(i,j)，它的a[ i ]+b[j]的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。

4）x端在交錯樹中，y端不在交錯樹中的邊(i,j)，它的a[ i ]+b[j]的值有所減小。也就說，它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。

現在的問題就是求d值了。為了使a[ i ]+b[j]>=w[i,j]始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖，d應該等於：

min。

程式：

function find(x:longint):boolean;
var y:longint;
begin
vx[x]:=true;
for y:=1 to n do
if (not vy[y])and(lx[x]+ly[y]=w[x,y]) then
begin
vy[y]:=true;
if (b[y]=0)or find(b[y]) then
begin
b[y]:=x;
exit(true);
end;
end;
exit(false);
end;
procedure km;
begin
for i:=1 to n do
begin
max:=0;
for j:=1 to n do
if w[i,j]>max then
max:=w[i,j];
lx[i]:=max;
end;
for k:=1 to n do
repeat
fillchar(vx,sizeof(vx),0);
fillchar(vy,sizeof(vy),0);
if find(k) then break;
d:=maxlongint;
for i:=1 to n do
if vx[i] then
for j:=1 to n do
if not vy[j] then
if lx[i]+ly[j]-w[i,j]d:=lx[i]+ly[j]-w[i,j];
for i:=1 to n do
begin
if vx[i] then dec(lx[i],d);
if vy[i] then inc(ly[i],d);
end;
until false;
end;

km演算法與最佳匹配

奔小康賺大錢最佳匹配 KM（）演算法

關於km演算法最佳匹配的個人總結模板

J Spy（多重匹配KM演算法）

km演算法與最佳匹配

奔小康賺大錢 最佳匹配 KM（）演算法

關於km演算法 最佳匹配 的個人總結 模板

J Spy（多重匹配KM演算法）

相關推薦

奔小康賺大錢最佳匹配 KM（）演算法

關於km演算法最佳匹配的個人總結模板