Fibonacci數列的遞迴與非遞迴實現

fibonacci(斐波那契)數列定義：

（1）遞迴實現

思想簡單，無需贅述，實現如下：

// 遞迴方法複雜度o(2^n)，計算到n=41已達到計算機的極限

int f( int n )
int* fibonacci1( int len )

（2）採用通項公式計算

遞推公式為x(n+2)=x(n+1)+x(n)，是乙個二階常係數齊次線性差分方程，利用該差分方程的特徵方程t^2=t+1，以及初始條件x(0)=1, x(1)=1易解出x(n)的通項表示式。

f(n)的通項表示式：

c實現：

struct data

;// 利用通項公式計算，時間複雜度o(n)
int* fibonacci2( int len )
; int* arr = (int*)malloc( sizeof(int) * len);
if ( arr == null ) return arr;
for ( int i = 0; i < len; ++i )
return arr;
}

（3）採用二階遞推的方法

注意到，存在矩陣a=(1,1;1,0)使得下式成立

據此得到fibonacci數列的實現**：

// 用於迭代操作的2x2矩陣

class matrix
matrix(int a1, int b1, int c1, int d1):a(a1),b(b1),c(c1),d(d1){}
matrix( const matrix& b ):a(b.a),b(b.b),c(b.c),d(b.d){}
const matrix& operator*=( const matrix& b) 
unsigned int a;
unsigned int b;
unsigned int c;
unsigned int d;
};const matrix operator*( const matrix& a, const matrix& b)
void printmatrix( const matrix& a )
matrix matrixpower( const matrix& a, int n )
return m;
}int f3(int n)
int* fibonacci3( int len )
return arr;
}

Fibonacci數列的遞迴與非遞迴實現演算法詳解

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