最大子串行和問題

問題：

給定一整數序列a1， a2，... an （可能有負數），求a1~an的乙個子串行ai~aj，使得ai到aj的和最大

例如：整數序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子串行的和為21。對於這個問題，最簡單也是最容易想到的那就是窮舉所有子串行的方法。利用三重迴圈，依次求出所有子串行的和然後取最大的那個。當然演算法複雜度會達到o(n^3)。

int maxsubsum1(int a,int size ) 
return maxsum;
}

這個演算法很簡單，i表示子串行起始下標，j表示子串行結束下標，遍歷子串行的開頭和結束下標，計算子串行的和，然後判斷最大子串行。很明顯的看出演算法複雜度是o( pow( n, 3 ) )

顯然這種方法不是最優的，下面給出乙個演算法複雜度為o(n)的線性演算法實現，演算法的**於programming pearls一書。在給出線性演算法之前，先來看乙個對窮舉演算法進行優化的演算法，它的演算法複雜度為o(n^2)。其實這個演算法只是對對窮舉演算法稍微做了一些修改：其實子串行的和我們並不需要每次都重新計算一遍。假設sum(i, j)是a[i] ... a[j]的和，那麼sum(i, j+1) = sum(i, j) + a[j+1]。利用這乙個遞推，我們就可以得到下面這個演算法：

int max_sub(int a,int size)
}　　return max;
}

那怎樣才能達到線性複雜度呢？這裡運用動態規劃的思想。先看一下源**實現：

int max_sub2(int a, int size)
return max;
}

在這一遍掃瞄陣列當中，從左到右記錄當前子串行的和temp_sum，若這個和不斷增加，那麼最大子串行的和max也不斷增加(不斷更新max)。如果往前掃瞄中遇到負數，那麼當前子串行的和將會減小。此時temp_sum 將會小於max，當然max也就不更新。如果temp_sum降到0時，說明前面已經掃瞄的那一段就可以拋棄了，這時將temp_sum置為0。然後，temp_sum將從後面開始將這個子段進行分析，若有比當前max大的子段，繼續更新max。這樣一趟掃瞄結果也就出來了。

分治法：最大子串行和可能出現在三個地方：整個出現在輸入資料的左半部分，整個出現在輸入資料的右半部分，或者跨越輸入資料的中部從而佔據左右兩個半部分。

/**
* recursive maximum contiguous subsequence sum algorithm.
* finds maximum sum in subarray spanning a[left..right].
* does not attempt to maintain actual best sequence.
*/int maxsumrec( const vector& a, int left, int right )
int maxrightbordersum = 0, rightbordersum = 0;
for( int j = center + 1; j <= right; j++ )
return max3( maxleftsum, maxrightsum, maxleftbordersum + maxrightbordersum );
}/**
* driver for divide-and-conquer maximum contiguous
* subsequence sum algorithm.
*/int maxsubsum3( const vector& a )

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