牛頓下山法求解非線性方程（組）（C實現）

1、演算法描述

（1）符號說明與基本假設

對於非線性方程組：

引入向量：

可將（1）式改寫為

通常考慮方程（2）只有唯一解的情形。

（2）牛頓下山演算法

引入下山因子λ

，產生一下計算格式：

下山因子λ

一般依次取1、1/2、1/4、1/8、……

其中

計算步驟為：

2、c語言實現

newton.h標頭檔案：

#ifndef __newton_h__

#define __newton_h__
// 牛頓下山法求解非線性方程（組）
int newton( double** x0
, int n
, double lmada
, double eps_x
, double eps_f
, void (*f)( double** x, int n)
, void (*df)(double** x, int n)
);#endif

#include "newton.h"

#include #include // 計算矩陣的逆
static int inverse( double** dfx, int n )
for ( j = 0; j < n; ++j )
}if ( maxv < 1e-20 )
if ( j != p )
tmp = a[j*n+j];
for ( i = j; i < n; ++i ) a[j*n+i] /= tmp;
for ( i = 0; i < n; ++i ) t[j*n+i] /= tmp;
for ( i = 0; i < n; ++i )
}} memcpy( a, t, row_size * n );
free( t );
free( tarr );
return 0;
}// 計算步長dx
static void calc_dx( double** dx
, double* df
, double* dfx
, double lamda
, int n
) }}
// 計算向量的無窮範數
static double norm_inf( double* a, int n )
for ( i = 1; i < n; ++i )
return ret;
}// 牛頓下山法求解非線性方程組，求解成功返回0，失敗返回-1
int newton ( double** x0 // 迭代起始點
, int n // 方程組維數
, double lamda // 起始下山因子
, double eps_x // 閾值
, double eps_f // 閾值
, void (*f)( double** x, int n) // 帶求解非線性方程組函式
, void (*df)(double** x, int n) // 帶求解非線性方程組的導函式（jacobi矩陣）
)calc_dx( &dx, fx, dfx, lamda, n); // 計算步長
max_f = norm_inf( fx, n );
for ( i = 0; i < n; ++i )
memcpy( fx, x, row_size);
f( &fx, n );
max_f1 = norm_inf( fx, n );
if ( max_f1 < max_f )
else
}else
else
}}end:
free( dx );
free( fx );
free( dfx);
return ret;
}

考慮用牛頓下山法求解以下非線性方程組：

求解以上方程的主程式：

#include #include #include #include #include "newton.h"

#define math_e 2.7182818285
#define math_pi 3.1415926536
void f( double** x, int n )
void df( double** x, int n )
int main()

x = 0.500000

y = -0.000000

z = -0.523599

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