首先，我們引進乙個小小概念來方便描述吧，record[n][m]是把自然數劃分成所有元素不大於m的分法，例如：
當n=4，m=1時，要求所有的元素都比m小，所以劃分法只有1種：；
當n=4，m=2時，。。。。。。。。。。。。。。。。只有3種,，；
當n=4，m=3時，。。。。。。。。。。。。。。。。只有4種,，,；
當n=4，m=5時，。。。。。。。。。。。。。。。。只有5種,，,,；
從上面我們可以發現：當n==1||m==1時，只有一種分法； 當n
當n==m時，那麼就得分析是否要分出m這乙個數，如果要分那就只有一種，要是不分，那就是把n分成不大於m-1的若干份；即record[n][n]=1+record[n][n-1];
當n>m時，那麼就得分析是否要分出m這乙個數，如果要分那就,}時n-m的分法record[n-m][m]，要是不分，那就是把n分成不大於m-1的若干份；即record[n][m]=record[n-m][m]+record[n][m-1];
那麼其遞迴式：
record[n][m]= 1 (n==1||m==1)
record[n][n] (n
1+record[n][m-1] (n==m)
record[n-m][m]+record[n][m-1] (n>m)
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把加法變為冪運算
這裡先給出2個例子，等會再結合題目分析：
第一種：
有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？
考慮用母函式來接吻這個問題：
我們假設x表示砝碼，x的
指數表示砝碼的重量，這樣：
1個1克的砝碼可以用函式1+x表示，
1個2克的砝碼可以用函式1+x2表示，
1個3克的砝碼可以用函式1+x3表示，
1個4克的砝碼可以用函式1+x4表示，
上面這四個式子懂嗎？
我們拿1+x2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示重量，即這裡就是乙個質量為2的砝碼，那麼前面的1表示什麼？1代表重量為2的砝碼數量為0個。（理解！）
不知道大家理解沒，我們這裡結合前面那句話：
「把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來」
1+x2表示了兩種情況：1表示質量為2的砝碼取0個的情況，x2表示質量為2的砝碼取1個的情況。
這裡說下各項係數的意義：
在x前面的係數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這裡可不能簡單的認為相應砝碼取0個就該是0*x2(想下為何？結合數學式子)。
所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？
幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）
例如右端有2x5 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1 。
接著上面，接下來是第二種情況：
求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：
大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。
以展開後的x4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數為4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
這裡再引出兩個概念整數拆分和拆分數（沒有順序）：
所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於乙個球）。
整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。
母函式模版
//made by syx
//time 2023年9月11日 10:17:27
//母函式例題
/*//整數拆分模板
#include using namespace std;
const int lmax=10000;
//c1是用來存放展開式的係數的，而c2則是用來計算時儲存的，
//他是用下標來控制每一項的位置，比如 c2[3] 就是 x^3 的係數。
//用c1儲存，然後在計算時用c2來儲存變化的值。
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
//第一層迴圈是一共有 n 個小括號，而剛才已經算過乙個了
//所以是從2 到 n
for (i=2; i<=n; i++)
// 重新整理一下資料，繼續下一次計算，就是下乙個括號裡面的每一項。
for ( j=0; j<=n; j++ )
}cout
const int lmax=10000;
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
//i從2到n遍歷，這裡i就是指第i個表示式，
//上面給出的第二種母函式關係式裡，每乙個括號括起來的就是乙個表示式。
for (i=2;i<=n;i++)
}cout<
母函式模版小結
下面是模板 include using namespace std const int max 10001 int c1 max c2 max int main 總共有n個括號,從第2個起每乙個括號都要和前面那乙個括號相乘 所以可以忽略第乙個括號 for i 2 i i nnum i cout 首先...
母函式模板
母函式，又稱生成函式，是acm競賽中經常使用的一種解題演算法，常用來解決組合方面的題目。本文講解母函式，但不講解該演算法的基礎理論。讀者隨便找一本組合數學教材便可找到相應的內容，或者直接在網上搜尋一下。母函式通常解決類似如下的問題 給5張1元，4張2元，3張5元，要得到15元，有多少種組合？某些時候...
母函式模板
研究以下多項式乘法 可以看出 x2項的係數a1a2 a1a3 an 1an中所有的項包括n個元素a1，a2，an中取兩個組合的全體 同理 x3項係數包含了從n個元素a1，a2，an中取3個元素組合的全體 以此類推。特例 若令a1 a2 an 1，在 8 1 式中a1a2 a1a3 an 1an項係數...