歸併排序及其時間複雜度分析

1》歸併排序的步驟如下：

divide: 把長度為n的輸入序列分成兩個長度為n/2的子串行。

conquer: 對這兩個子串行分別採用歸併排序。

combine: 將兩個排序好的子串行合併成乙個最終的排序序列。

2》時間複雜度：

這是乙個遞推公式（recurrence）

，我們需要消去等號右側的t(n)，把t(n)寫成n的函式。其實符合一定條件的recurrence的展開有數學公式可以套，這裡我們略去嚴格的數學證明，只是從直觀上看一下這個遞推公式的結果。當n=1時可以設t(1)=c

1，當n>1時可以設t(n)=2t(n/2)+c

2n，我們取c

1和c2中較大的乙個設為c，把原來的公式改為：

這樣計算出的結果應該是t(n)的上界。下面我們把t(n/2)展開成2t(n/4)+cn/2（下圖中的(c)），然後再把t(n/4)進一步展開，直到最後全部變成t(1)=c（下圖中的(d)）：

把圖(d)中所有的項加起來就是總的執行時間。這是乙個樹狀結構，每一層的和都是cn，共有lgn+1層，因此總的執行時間是cnlgn+cn，相比nlgn來說，cn項可以忽略，因此t(n)的上界是θ(nlgn)。

如果先前取c1和c2中較小的乙個設為c，計算出的結果應該是t(n)的下界，然而推導過程一樣，結果也是θ(nlgn)。既然t(n)的上下界都是θ(nlgn)，顯然t(n)就是θ(nlgn)。