德梅齊里亞克砝碼問題：一位商人有乙個40磅重的砝碼，由於跌落在地而碎成4塊，稱得每塊碎片的重量都是整磅數，而且可以用這4塊來稱出從1到40磅之間的任意整數磅的重物，請問這4塊碎片分別為多重？
我首先給出問題的答案，可能聰明的人看到答案的形式就能猜到其中的規律：1，1*2+1=3，（1+3）*2+1=9，（1+3+9）*2+1=27.
解這個問題挺有意思的，不需要什麼高深的數學知識又很好玩。首先我們來參照一下人民幣的幣值。我們的分幣有1，2，5三種幣值，兩兩可以組成1到8之間的若干值，同樣，我們在這道砝碼問題中第乙個要考慮的因素就是排列組合值。1，2，1+2，5，1+5，2+5，1+2+5。
此外，天平稱重的另乙個特性就是，砝碼可以放在左右任意乙個托盤中，所以我們就得到了這個問題的第二格特質：排列組合的得出的結果可以取加法，還可以取減法。這樣，在上面列出的數字的基礎上，我們又得到了2-1，5-1，5-2，5-1-2（就像買東西找零錢一樣）。我們發現這些新的值和上面的值有重合，也就是有冗餘值，我們的優化過程就是要消除這些冗餘值。
好的，現在我們得到了兩個數學概念：排列組合和加減法。我們將使用這兩個概念來解砝碼問題。首先引入兩個變數，設已知的所有砝碼的重量之和為m，我們要選的砝碼值是x。
1. 基本單元1是必須的了，所以第乙個碎片一定是1磅;
2. 現在m=1，能稱1磅的重物；
3. 我們要稱的下乙個值就是m+1=2磅，我們能選的下乙個砝碼中x磅，x可以選2-m，2，2+m，但我們發現只有選2+m之後的排列組合加減值才不會有冗餘，所以x=2+m=(m+1)+m=2m+1=3；
4. 現在m=1+3=4，能稱4磅及4磅以下的重物；
5. 下乙個要稱的值就是m+1=5磅，而第三個碎片重量x可以是5-m、5、5+m、或一些其他值，其中只有5+m的排列組合沒有冗餘，而x=5+m=(m+1)+m=2m+1=9；
6. 現在的m值就是13，能稱13磅及13磅以下的重物；
7. 這樣推下去你就發現了，你要的下乙個最優值永遠是2m+1，只有這樣才不會有多餘的組合加減值。這樣你會得到下一第四個碎片的值是2m+1=27。而這時四個碎片的總重量是40。到此為止砝碼問題就結束了。
第一次公升級
得到2m+1的規律之後，我們現在可以把原版的德梅齊里亞克砝碼問題再做一下公升級：摔成5個碎片的砝碼問題應該是什麼樣子呢?
首先求得第五個碎片的重量值應該是（1+3+9+27）*2+1=81，五個碎片的總重量就是121磅。那麼公升級版的德梅齊里亞克砝碼問題就應該是這樣的：一位商人有乙個121磅重的砝碼，由於跌落在地而碎成5塊，稱得每塊碎片的重量都是整磅數，而且可以用這5塊來稱出從1到121磅之間的任意整數磅的重物，請問這5塊碎片分別為多重？
再一次公升級
類似斐波那契數列，我們可以從砝碼問題得到乙個德梅齊里亞克數列：
1，3，9，27，81，243, ... xn ...
其中xn=2m+1.(m=x1+x2+x3+...xn-1)
這個數列有什麼意義呢？你自己想吧。
原文：
德 梅齊里亞克的砝碼問題
一位商人有乙個40磅的砝碼，由於跌落在地而碎成4塊。後來，稱得每塊碎片的重量都是整磅數，而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數磅的重物。問 這4塊砝碼碎片各重多少？已知 4 個整數和為 40，且都不小於 1。可推出都不大於 37。因為 37 1 1 1 40，這是最大的情形。考慮到砝碼可以放...