一位商人有乙個40磅的砝碼，由於跌落在地而碎成4塊。後來，稱得每塊碎片的重量都是整磅數，而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數磅的重物。
問：這4塊砝碼碎片各重多少？
已知 4 個整數和為 40，且都不小於 1。可推出都不大於 37。
因為 37 + 1 + 1 + 1 = 40，這是最大的情形。
考慮到砝碼可以放置在天平的任意一端，假設天平左端放置重物，則其重量應為天平右端砝碼重量減去天平左端砝碼重量。
這樣，4 個砝碼通過加減的排列組合獲得它們可以稱量的重量。
單一數字：4 種情形
兩數相加：6 種情形
三數相加：4 種情形
四數相加：1 種情形
兩數相減：6 種情形
（兩數和）與（一數）之差：12 種情形
（兩數和）與（兩數和）之差：3 種情形
（三數和）與（一數）之差：4 種情形
從上表可見，8 種組合方式，共計有 40 種情形。而題設要求能夠稱量 1 至 40 磅之間的任意整數質量，即 40 個整數。由於上表已經窮舉了所有的情形，因此，上表所窮舉的 40 種情形就必須對應 1 至 40 之間的不同數字，即兩兩不等。
如果要得到 39，則必須有 1 。
在 8 種組合中，除了四數相加，最大的情形一定是三數相加。而如果 4 個數字中沒有 1，則任意三數相加都不可能得到 39 。
因此，有 1 。
如果有2，則有 2 - 1 = 1 。
這個兩數之差的情形，與單一數字 1 的情形得到了相等的數字，前文已經論證了這是不可以的。
因此，沒有 2 。
為了方便討論，設 4 個數字由小到大分別為 a1，a2，a3，a4 。已得出 a1 = 1 。
由 a2 + a3 + a4 = 39，a2 + a3 + a4 - a1 = 38，接下來要湊出 37 。
在 40 種加減組合情形中，比（a2 + a3 + a4 - a1）小的最大組合是（a1 + a3 + a4），由此可得 a2 = 3，a3 + a4 = 36 。
已經得出：
1 = 1
2 = 3 - 1
3 = 3
4 = 3 + 1
可以發現 a3 > 8，否則就會發生數值的重複。
a3 + a4 = 36
a3 + a4 - a1 = 35
a3 + a4 + a1 - a2 = 34
a3 + a4 - a2 = 33
a3 + a4 - a1 - a2 = 32
接下來是
a4 + a1 + a2 = 31，得出 a4 = 27，a3 = 9
綜上，a1 = 1 =，a2 = 3，a3 = 9，a4 = 27，經檢驗，滿足題設。
實際上在讀完題的時候，或是發現 40 種組合的時候，就應該反應過來與 3 進製有關。上文的解答過程也是在第一時間想到答案之後補充的過程，並不美觀，也不簡潔，唯一的優點也就是比較容易理解了。
等以後想到更漂亮的解答過程再補充吧。
德梅齊里亞克砝碼問題
德梅齊里亞克砝碼問題 一位商人有乙個40磅重的砝碼，由於跌落在地而碎成4塊，稱得每塊碎片的重量都是整磅數，而且可以用這4塊來稱出從1到40磅之間的任意整數磅的重物，請問這4塊碎片分別為多重？我首先給出問題的答案，可能聰明的人看到答案的形式就能猜到其中的規律 1，1 2 1 3，1 3 2 1 9，1...