隨機化演算法基礎

隨機化演算法在分析某些涉及概率分析的問題上具有重要意義，因為輸入的分布是我們不能預知的，我們想讓分析的問題達到乙個平均的狀態，就得依靠隨機化，把輸入分布重新排列，使之成為乙個脫離其他外界因數的排列，同時要保證出現這個排列的概率為1/n!。

下面，有兩個常用的演算法來實現輸入分布的隨機化，以給定的輸入陣列為例，我們的目標是把a[1..n]隨機排列。

方法一：

為陣列的每個元素a賦乙個隨機的優先順序p,然後依據優先順序對陣列a中的元素進行排序。例如，陣列a = ，選擇乙個隨機優先順序p = ，將得出陣列a的排列b = ，因為第2個優先順序最小，其次是第4個，第1個，第3個。

這個過程稱為permute_by_sorting

permute_by_sorting(a)

1 n <- length[a]

2 for i <- 1 to n

3 do p = random(1,n^3)

4 sort a,using p as sort keys

5 return a

其中第3步選擇的隨機數範圍1--n^3是為了讓產生的隨機數盡可能的唯一。此過程消耗的時間將由第4步的排序決定，如果使用基於比較的排序，這個時間下界可以達到nlgn（合併排序……），其中排序的方法與普通排序一樣，對p進行排序，多的只是在這個過程中將a按p的優先順序排序。

方法二：

乙個更好的原地排序（in place）給定的數列。過程randomize_in_place在o(n)的時間內完成。在第i次迭代時，元素a是從a到a[n]中隨機選取的。第i次迭代之後，a保持不變。

randomize_in_place(a)

1 n <- length[a]

2 for i <- 1 to n

3 do swap a <-> a[random(i,n)]

證明這兩個隨機演算法產生排列的概率為是均勻的即 1/n! ，需要用的概率分析的內容，這裡不再驗證（自己也知之甚少）。

同時，並非所有的隨機化都是這個模式，這裡只說明了常用的模型。例如在quick_sort中使用隨機化使時間接近最優時，只需要在選擇pivot時作乙個隨機選擇。對於這個模型的具體例項，我在以後的學習中遇到將會新增。