KM演算法及其具體過程

2021-06-16 17:34:50 字數 2272 閱讀 1069

km演算法及其具體過程】

(1)可行點標:每個點有乙個標號,記lx[i]為x方點i的標號,ly[j]為y方點j的標號。如果對於圖中的任意邊(i, j, w)都有lx[i]+ly[j]>=w,則這一組點標是可行的。特別地,對於lx[i]+ly[j]=w的邊(i, j, w),稱為可行邊

(2)km 演算法的核心思想就是通過修改某些點的標號(但要滿足點標始終是可行的),不斷增加圖中的可行邊總數,直到圖中存在僅由可行邊組成的完全匹配為止,此時這個匹配一定是最佳的(因為由可行點標的的定義,圖中的任意乙個完全匹配,其邊權總和均不大於所有點的標號之和,而僅由可行邊組成的完全匹配的邊權總和等於所有點的標號之和,故這個匹配是最佳的)。一開始,求出每個點的初始標號:lx[i]=max(即每個x方點的初始標號為與這個x方點相關聯的權值最大的邊的權值),ly[j]=0(即每個y方點的初始標號為0)。這個初始點標顯然是可行的,並且,與任意乙個x方點關聯的邊中至少有一條可行邊

(3)然後,從每個x方點開始dfs增廣。dfs增廣的過程與最大匹配的hungary演算法基本相同,只是要注意兩點:一是只找可行邊,二是要把搜尋過程中遍歷到的x方點全部記下來(可以用vst搞一下),以進行後面的修改;

(4)增廣的結果有兩種:若成功(找到了增廣軌),則該點增廣完成,進入下乙個點的增廣。若失敗(沒有找到增廣軌),則需要改變一些點的標號,使得圖中可行邊的數量增加。方法為:將所有在增廣軌中(就是在增廣過程中遍歷到)的x方點的標號全部減去乙個常數d,所有在增廣軌中的y方點的標號全部加上乙個常數d,則對於圖中的任意一條邊(i, j, w)(i為x方點,j為y方點):

<1>i和j都在增廣軌中:此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變,也就是這條邊的可行性不變(原來是可行邊則現在仍是,原來不是則現在仍不是);

<2>i在增廣軌中而j不在:此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值減少了d,也就是原來這條邊不是可行邊(否則j就會被遍歷到了),而現在可能是;

<3>j在增廣軌中而i不在:此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d,也就是原來這條邊不是可行邊(若這條邊是可行邊,則在遍歷到j時會緊接著執行dfs(i),此時i就會被遍歷到),現在仍不是;

<4>i和j都不在增廣軌中:此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變,也就是這條邊的可行性不變。

這樣,在進行了這一步修改操作後,圖中原來的可行邊仍可行,而原來不可行的邊現在則可能變為可行邊。那麼d的值應取多少?顯然,整個點標不能失去可行性,也就是對於上述的第<2>類邊,其lx[i]+ly[j]>=w這一性質不能被改變,故取所有第<2>類邊的 (lx[i]+ly[j]-w)的最小值作為d值即可。這樣一方面可以保證點標的可行性,另一方面,經過這一步後,圖中至少會增加一條可行邊。

(5)修改後,繼續對這個x方點dfs增廣,若還失敗則繼續修改,直到成功為止;

(6)以上就是km演算法的基本思路。但是樸素的實現方法,時間複雜度為o(n4)——需要找o(n)次增廣路,每次增廣最多需要修改o(n)次頂標,每次修改頂標時由於要列舉邊來求d值,複雜度為o(n2)。實際上km演算法的複雜度是可以做到o(n3)的。我們給每個y頂點乙個「鬆弛量」函式slack,每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中,檢查邊(i,j)時,如果它不在相等子圖中,則讓slack[j]變成原值與 a[i]+b[j]-w[i,j]的較小值。這樣,在修改頂標時,取所有不在交錯樹中的y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點:修改頂標後,要把所有不在交錯樹中的y頂點的slack值都減去d。

hdoj 2255

#include #include #define m 310

#define inf 0x3f3f3f3f

int n,nx,ny;

int link[m],lx[m],ly[m],slack[m]; //lx,ly為頂標,nx,ny分別為x點集y點集的個數

int visx[m],visy[m],w[m][m];

int dfs(int x)

}else if (slack[y] > t) //不在相等子圖中slack 取最小的

slack[y] = t;

}return 0;

}int km()

}int res = 0;

for (i = 1;i <= ny;i ++)

if (link[i] > -1)

res += w[link[i]][i];

return res;

}int main ()

return 0;

}

匈牙利演算法 KM演算法

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bool find int x return false 主程式 for i 1 i n i include include include include include include include include include include include include include...

KM演算法板子

原題hdu2255 其實在求最大 最小的時候只要用乙個模板就行了,把邊的權值去相反數即可得到另外乙個.求結果的時候再去相反數即可 最大最小有一些地方不同。include include include include 赤裸裸的模板啊。const int maxn 301 const int inf ...