題目1：甜食愛好者
傑里公尺和瑪麗是兩個喜歡蛋糕也喜歡數學的小孩，當瑪蒂娜大廚給他們準備了兩塊一模一樣的蛋糕後，傑里公尺便說服瑪麗玩乙個遊戲。
遊戲規則：傑公尺裡先把一塊蛋糕切成兩塊，這兩份大小可能一樣，也可能不一樣，切完之後，瑪麗決定是否要先選蛋糕。如果瑪麗先選，那麼她會選份大的，如果傑公尺裡先選，瑪麗可以預料傑里公尺會選走份大的。
隨後傑里公尺把另外一塊也切兩份，注意，他可以把其中乙份切得非常小，如果之前 瑪麗先選，那麼這次傑里公尺就可以拿走大的那份，如果之前是傑公尺裡先選，那麼這次瑪麗就可以拿走大的那份。
假設每個小孩的目標是分得盡可能多的蛋糕，那麼對於傑里公尺來說最好的策略是什麼呢？
解析：可以假設第一塊分為兩份，分別用f和1-f來表示。其中f >= 1/2。假設下面兩種情況：第一種，瑪麗先選擇，拿走了f那塊；第二種情況，瑪麗後選，拿走了1-f那塊。依次進行分析。
瑪麗可以如下分析：
如果是我先選的情況：第一塊她拿走了f，那麼傑里公尺在分第二塊時，肯定分為一塊很大，一塊非常小。也就是瑪麗一共就得到了f。
對於我後選的情況：第一塊中，瑪麗得到了1-f，那麼傑公尺裡在分第二塊時，之後平分，他才能獲得最多的蛋糕，也即瑪麗可以得到1/2
傑里公尺也會想到瑪麗所分析的情況。所以傑公尺裡必須使自己在兩次中得到的量一樣多，才能確保自己得到最多的蛋糕。
即讓瑪麗兩種情況下得到一樣多： f = 1-f + 1/2 可以知道 f = 3/4
無論第一次分時，f大於3/4或小於3/4，瑪麗都會得到更多的蛋糕。
補充：1.之後，大廚瑪蒂娜做了三塊一模一樣的長方形蛋糕，傑里公尺和瑪麗都非常想吃。這次的分法發生了變化。傑里公尺還是負責切蛋糕，但是瑪麗有兩次先選擇蛋糕的機會，而傑里公尺只有一次。也就是傑公尺裡先切一塊，由瑪麗決定是否先選；傑公尺裡再切第二塊，瑪麗決定是否進行先選，第三塊依次。但是瑪麗要留其中依次機會給傑公尺裡先選擇。
解析：如果第一塊時，傑公尺裡先選的，那麼他肯定選擇大的乙份，即f，後面兩次只能讓瑪麗先選，因此後兩塊的分割方法就是評分。傑公尺裡得到的蛋糕為 f + 1，而瑪麗得到的為 1-f +1/2 + 1/2 = 2 – f
第一塊瑪麗先選，則她可以得到大份蛋糕f，而剩下的兩塊則與上面我們的分析相同。即傑公尺裡最多可以分得5/4，瑪麗可以得到 3/4
兩種情況下：瑪麗得到的分別是 2 – f 與 3/4 + f，要讓瑪麗得到的一樣多，f = 11/8
傑公尺裡可以得到 13/8
2.假設有7塊一樣的蛋糕，瑪麗有6次先選蛋糕的機會，誰會有優勢？優勢有多少？
使用歸納分析方法：假設有k塊蛋糕，瑪麗有k-1次先選的機會。這種情況下，假設傑公尺裡有a塊的優勢（也就說傑公尺裡可以比瑪麗多分k塊中的a塊蛋糕），那麼在有k+1塊蛋糕時，傑公尺裡依舊占有優勢。分為兩種情況分析：
對於第k+1塊蛋糕，如果瑪麗先選，則傑公尺裡可以將蛋糕分割為1/2 – a/4和1/2 + a/4。瑪麗選1/2 + a/4，比傑公尺裡可以多a/2 的蛋糕，這樣在剩下的k塊蛋糕中，傑公尺裡可以多分a塊。這樣他比瑪麗多分了a/2塊。
如果瑪麗後選，傑公尺裡選擇1/2 + a/4，剩下的k塊蛋糕則全部被平分，傑公尺裡依然多得到了a/2塊蛋糕。
兩塊蛋糕時，傑公尺裡比瑪麗多1/2，三塊時，比瑪麗多1/4，依次可知當7塊蛋糕時，可以比瑪麗多分1/64。
3.假設總是讓傑里公尺來切蛋糕，有沒有辦法確保兩個小孩得到一樣多的蛋糕？
除非每次都是瑪麗先選蛋糕，否則沒有辦法實現兩個小孩分得的蛋糕一樣多。
題目2：拜占庭賭徒
受到假想的拜占庭陰謀啟發，設定如下的賭局，稱為「拜占庭賭徒」。
賭局規則：你和一群「顧問」一起參與賭局。其中乙個顧問會在一張紙上寫下0或者1，展示給其他顧問看，但不會讓你看到，然後把那張紙扣著放在你的面前。隨後每個顧問都會告訴你紙上寫的是什麼數字。他們都是演技精湛的人，因此你無法通過任何明顯的面部表情或記號分別出他們是否在說謊。每一局，你都可以選擇不下注，也可以壓上你的部分甚至全部資產。
問題：假設一共有四位顧問，其中兩個人會一直說實話，但是你不知道是那兩位。你可以玩三局，每一局都用等額投注（壓注多少，則賠多少）。賭局開始時，你有100美元，你能確保贏多少錢呢？
解析：如果四個顧問中，有3個或四個給你的建議相同，那麼就在他們說的那個數字上壓上最大的注。因為至少有兩個人總說實話，因此三個人或四個人的建議相同，那麼至少乙個人的話是對的，因此穩贏。
如果每兩個人給的建議是相同的，那麼這局可以暫時不押注，第一局結束以後就知道了那兩個顧問是說實話的，那麼後面的兩局中，可以將壓最大注，這樣兩局中就可以得到400美元。
因此最少可以確保贏300美元。
補充：1.假設現在只有三位顧問，而且只有乙個人會一直說實話。你還是可以玩3局，每一局都採用等額投注。賭局開始時，你有100美元，你能確保贏多少錢呢？
分析方法類似上例：
如果三個人的答案相同，那麼由於其中至少乙個人會說真話，因此，可以押注最大值，肯定會贏。
如果兩個人答案一樣，這時分為兩種情況：相同的兩個人是說謊的兩個顧問和相同的兩個人乙個是說謊的顧問，乙個是誠實的顧問。
首先可以拿出x元，押注那答案相同的數字。如果輸了，第一局結束則知道另外乙個人就是說真話的了，那麼剩下兩局就可以得到4*(100-x)美元。
如果贏了，則具有100+x美元；第二局如果這兩個人的答案不同，可以先不下注，等一局，第二局結束則知道說實話的人，那麼第三局時可以最終獲得2*(100 + x)。因此最少可以獲得這個數字的錢，或更多。
讓兩種情況下得到的錢數相同：4*（100-x）= 2*（100+x），最終可知x=100/3。那麼最終至少可以得到啟動資金的8/3，也即266.66美元
2.四輪賭局，四位顧問，其中3位可以隨意說謊，另一位四次中必須至少3次說實話，在這種情況下，你能保證贏多少？
（暫略）
3.如果你可以參加5局，「不總說實話」的顧問5次中必須有四次說實話，另外三位可以隨意說謊，這種情況下，你能保證最後至少還有150美元嗎？
（暫略）
75道程式設計師面試邏輯題
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