本節你將回顧一些骨骼動畫用到的概念和數學公式。乙個骨骼動畫是由許多關鍵幀組成的，每個關鍵幀儲存了乙個bone的配置（朝向和位置）和bone對應的時間。在每個時間間隔，你使用乙個或多個關鍵幀改變bone的配置。
圖11－7展示了一張如圖11－3中的骨骼的動畫，當left shoulder bone的朝向變動時也會影響到其他bone。
注意所有的後代（descendant）bone的配置都改變了。
要實現如圖11－7的結果，只需對left shoulder bone儲存乙個關鍵幀動畫。雖然所有的 left shoulder children的配置都改變了，它們與left shoulder的關係還是不變的。換句話說，你不需要儲存left shoulder children的新配置，因為你是基於新left shoulder配置計算children的配置的。這樣，當你需要更新模型時，你需要計算每個bone的絕對配置，然後使用這些bone變換頂點。接下來我們會學習一些變換頂點用到的公式，你將使用這些公式更新並繪製模型。為了更好的利用gpu，你將在動畫模型effect中實現這些公式。
模型的每個頂點包含了哪個bone影響它的位置和bone作用在頂點上的影響的資訊。你可以計算頂點的最後位置，而這個位置只被乙個bone影響，下面是公式：
pf＝p0′[bone•w]
在這個公式中，pf是頂點的最後位置，p0′是頂點的初始位置，bone是包含影響頂點的bone的絕對配置的矩陣，w是影響的權重。因為頂點只被乙個bone影響，所以這個權重是1（即100％）。這個公式顯示了如何計算頂點的最後位置：用包含bone的絕對配置的矩陣變換頂點的初始位置。
頂點的初始位置必須和bone使用相同的座標系統，這個座標包含在bind pose中。當頂點連線到bone時，所有的bone是在bind pose位置中找到的，而且所有的bone動畫是應用到骨骼的初始bind pose的。你可以通過將頂點位置乘以反bone矩陣將頂點的初始位置轉換到bone的bind pose座標系統中，由以下公式決定：
p0′＝p0[bone-1
bindpose]
在這個公式中，p0′是頂點在bind pose座標中的初始位置，p0是頂點在模型空間中的初始位置，而bone-1
bindpose是bone絕對配置的反矩陣。要將頂點座標轉換到bone座標系統，你只需將頂點座標乘以bone的反矩陣。使用這兩個公式，你可以讓所有的頂點都動起來。
第乙個公式不允許乙個以上的bone影響乙個頂點，但在很多情況中往往是幾個bone共同影響乙個頂點。要計算幾個bone共同影響乙個頂點的最終位置，你需要計算施加影響的每個bone的頂點位置。然後你就能通過對頂點最終位置求和計算最終位置。下面的公式表示有幾個bone共同影響乙個頂點的計算公式：
注意用來變換頂點的權重的和必須是1。最後，下面的公式表示變換頂點的完整方程：
注意在前面的方程中你首先計算矩陣的和，然後一次性的變換頂點。
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