樹狀陣列 區間更新

樹狀陣列天生用來動態維護陣列字首和，其特點是每次更新乙個元素的值，查詢只能查陣列的字首和，

但這個題目求的是某一區間的陣列和，而且要支援批量更新某一區間內元素的值，怎麼辦呢？實際上，

還是可以把問題轉化為求陣列的字首和。

首先，看更新操作update(s, t, d)把區間a[s]...a[t]都增加d，我們引入乙個陣列delta[i]，表示

a[i]...a[n]的共同增量，n是陣列的大小。那麼update操作可以轉化為：

1）令delta[s] = delta[s] + d，表示將a[s]...a[n]同時增加d，但這樣a[t+1]...a[n]就多加了d，所以

2）再令delta[t+1] = delta[t+1] - d，表示將a[t+1]...a[n]同時減d

然後來看查詢操作query(s, t)，求a[s]...a[t]的區間和，轉化為求字首和，設sum[i] = a[1]+...+a[i]，則

a[s]+...+a[t] = sum[t] - sum[s-1]，

那麼字首和sum[x]又如何求呢？它由兩部分組成，一是陣列的原始和，二是該區間內的累計增量和, 把陣列a的原始

值儲存在陣列org中，並且delta[i]對sum[x]的貢獻值為delta[i]*(x+1-i)，那麼

sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1

= org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))

= segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x

這其實就是三個陣列org[i], delta[i]和delta[i]*i的字首和，org[i]的字首和保持不變，事先就可以求出來，delta[i]和

delta[i]*i的字首和是不斷變化的，可以用兩個樹狀陣列來維護。

#include #include #include using namespace std;

#define maxn 100005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define ll __int64
ll a[maxn], b[maxn], c[maxn], sum[maxn], n;
void add(ll a, ll x, ll d)
}ll sum(ll a, ll x)
return sum;
}int main()
else}}
return 0;
}

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