近日在複習資料結構，看到棧的時候，發現1個元素進棧，有1種出棧順序；2個元素進棧，有2種出棧順序；3個元素進棧，有5種出棧順序，那麼乙個很自然地問題就是n個元素進棧，共有多少種出棧順序？
說來慚愧，以前學資料結構的時候竟然沒有考慮過這個問題。最近在看動態規劃，所以「子問題」這3個字一直在我腦中徘徊，於是解決這個問題的時候我也是用類似「子問題」的方法，說白了就是遞推公式。
我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：
f(1) = 1
//即 1
f(2) = 2
//即 12、21
f(3) = 5
//即 123、132、213、321、231
然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。
分析：
1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；
2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有乙個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)， 根據乘法原理，一共的順序個數為f(1) * f(2)；
3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，
根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；
4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即 f(3)；
結合所有情況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：
f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)
然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0) 即
但這只是乙個遞推公式（若程式設計實現，需要維護乙個一維陣列，時間複雜度為o(n^2)）。怎麼把它轉化為通項公式呢，複雜度僅為o(1)?
於是上網搜尋一下，原來真的有這麼乙個公式：
c(2n,n)/(n+1) （c(2n,n)表示2n裡取n），並且有個名字叫catalan數。附上wiki的鏈結，寫得太詳細了：
update
根據網友u010896627的思路，我抽象了下問題，在知乎上問了個問題，其中有乙個答案提出了「折現法」，從幾何上推出了「n個元素進棧有多少個出棧順序」這個問題的答案是c(2n,n)-c(2n,n-1)，化簡一下即得catalan number。推薦大家看一看。
n個元素進棧，出棧順序問題
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n個數順序入棧後的出棧順序
解法 遞推法 有n個位置，現在任意選定乙個數，比如1，那麼1可以在1 n的任意乙個位置上。假設1在第k的位置上，顯然在1的前面有k 1個數，並且這些數的數值為2 k,在1後面有n k個數。用f k 表示k個數順序入棧後的出棧順序，則f n 就是我們要求的最終答案。而f n 這個事件又可以分解成1在1...
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