N個數依次入棧，出棧順序有多少種？

對於每乙個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態『1』，出棧設為狀態『0』。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃瞄由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。

在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃瞄，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。不符合要求的數的特徵是由左而右掃瞄時，必然在某一奇數字2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即乙個不合要求的數對應於乙個由n+1個0和n-1個1組成的排列。

反過來，任何乙個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某乙個奇數字上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應乙個不符合要求的數。

因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。

顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。

//模擬過程如下，dfs來填充入棧和出棧的標誌
#include#include
#include
#include
#define n 100
using
namespace
std;
inta[n];
int p[2*n];
int pre[2*n];
int used[2*n];
int index[2*n];//
如果a[i]==1，那麼表示第index[i]個數入棧 
intn;
int cnt;//
記錄多少個出棧的序列 
int c(int
n) 
return ans/(nn+1);}
void
solve() 
else
}cout
<}void
solve1()
}cout
<}void dfs(int k, int cnt0, int
cnt1)
if(cnt1//
入棧 a[k] = 1
; index[k] = cnt1+1;//
第幾個數入棧 
dfs(k+1, cnt0, cnt1+1
); }
if(cnt0//
出棧 a[k] = 0
; dfs(k+1, cnt0+1
, cnt1);
}}int
main()

類似問題買票找零

有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

最終結果：c(2n,n)-c(2n,n+1)

N個數依次入棧，出棧順序有多少種？

N個數依次入棧，出棧順序有多少種？

N個數依次入棧，出棧順序有多少種？

1 5入棧順序有多少種可能出棧結果

相關推薦