方法一、
a. 1個元素入棧出棧一種可能記作f(1) = 1;
b. 2個元素入棧出棧有兩種可能記f(2) = 2;
c. 3個元素入棧，考慮最後乙個元素，出棧為第乙個位置1種，第二個位置2種，第三個位置f(2)種，記作f(3) = 5;
d. 4個元素入棧，考慮最後乙個元素，出棧為第乙個位置1種，第二個位置（前面只有乙個元素pop出去了，在3個push任意位置插入乙個pop）有3種可能，第三個位置（說明已經pop出去兩個元素，考慮1-3三個數，pop其中兩個，若兩個連續有前面f(2)種，不連續只有一種，即num_pop(1,2) = 2,num_pop(2,3)=2,num_pop(1,3)=1）有共5種可能，第四個位置pop即為前面f(3)的值，即f(4) = 1 + 3 + 5 + 5 = 14種。
e. 5個元素入棧，考慮最後乙個元素，出棧為第乙個位置1種，第二個位置（前面有4個元素選擇乙個pop）有4種可能，第三個位置（說明已有兩個元素pop出去，若為pop的為1,2有2種，1,3有一種，1,4有1種，若pop的為2,3有2種，pop2,4有1種，pop3,4有2種）共計9種，第四個位置（說明已經pop出去三個元素，那麼假設1未被pop，有f(3)種，2未被pop有f(2)種，3未被pop有f(2)種，4未被pop有f(3)種）共14種，第五個位置即f(4)，因此f(5) = 1 + 4 + 9 + 14 + 14 = 42種。
方法二、
a. f(4) = |push| x | x | x | x | x | x |pop|
b. f(5) = |push|pop| f(4) | + |push| push | x | x | x | x | x | x | x | pop |
顯然 |push| push | x | x | x | x | x | x | x | pop | > f(4) ，由於對應於第乙個x可以是pop，可以有pop多乙個在前。
設為：|push|push| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |pop|
x1乙個pop不能讓其產生消除第乙個push
x2x1同時為pop時候，後面還有6個數即f(3) = 5種
x3消除第乙個push是不可能的，不用考慮
x4和x1,x2,x3中兩個個組合pop可以消除第乙個push（但x1,x2同為pop不考慮）即有c(3)(2) - 1 = 2 種可能，而右邊有4個空缺，有f(2) = 2種，綜合考慮有2*2 = 4 種。
x5消除第乙個push是不可能的，不用考慮
x6消除第乙個push,若x5為push，那麼必然不成立。因此x1-x4排列2push,2pop，有c(4)(2) - 1 = 5種，而對於後者只有x7只有push一種可能，綜合考慮有5*1 = 5種
x7消除第乙個push，不可能。
因此，f(5) = f(4) + f(4) + 5 + 4 + 5 = 14 * 3 = 42
方法三、
卡特蘭數 h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1) = c(2n,n)/(n+1) = c(2n,n)-c(2n,n+1) 將5代入 直接得到答案42
證明：1. 假設1~n的元素，中第i個元素最後出棧，那麼在i之前的元素都在i入棧前已經完成了出棧，即有f(i-1)種。所有i之後的元素在i入棧後，先後完成了入棧和出棧，有f(n-i)種。
令f(0) = 1，那麼有; f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2)……f(n-1)*f(0)
2. 用0,1分別表示出棧和入棧，那麼1~5的入棧出棧操作可以用10位01bit位來模擬，但需要保證從左邊到右邊掃瞄過程中，1個個數總是大於或等於0的個數。
假設採用列舉的方法，即c(2n,n)種，有哪些不符合要求？
假設某個偶數字2m，產生了衝突，前面0的個數超出1個個數，顯然2m位是0，那麼必須有2m-1位剛好匹配完所有的push，即1,0對等。顯然奇數不可能實現這個，一次不可能在偶數字衝突。
假設某個奇數字2m+1產生衝突，那麼前2m位剛好匹配，2m+1位是0，然後後面有n-m-1個0，n-m個1,，將後面的資料都對應反向，即n-m個0，n-m-1個1，仍不影響該結果不可能是合理解，在n-m+m+1 = n+1個0，n-1個1產生的組合包含n個0，n個1產生的不合理解。
n-1個1,n+1個0，組合成2n個bit的列，在某一位上0的個數會超過1的個數，假設這個位是偶數字，顯然不可能，若為奇數為，設為2*x + 1，將後面資料都反向對應有n-x-1個0，n-x個1，完全也不影響這個列成為不符合要求的列，即有n-1個1，n+1個0組合不合理情況包含n個0，n個1產生的不合理解。
即n-1個1，n+1個0，產生的不合理解即為全部不合理解。
因此h(n) = c(2n,n) - c(2n,n+1);
方法四、
**解決：
少量資料可以直接10位bit，每次+1，判斷是否有5個1，判斷是否從左到右邊遍歷總是1個數不小於0個數，符合即可輸出結果。
也可以初始化5個1,5個0，然後在這個集合中next_permutation，求所有集合，然後對每種組合進行判斷，**如下。
N個數依次入棧，出棧順序有多少種？
對於每乙個數來說，必須進棧一次 出棧一次。我們把進棧設為狀態 1 出棧設為狀態 0 n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1 n的順序排列 入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a a b 因此輸出序列的總數目 由左而右掃瞄由n個1和n個0組成的2n位二進位制...
N個數依次入棧，出棧順序有多少種？
對於每乙個數來說，必須進棧一次 出棧一次。我們把進棧設為狀態 1 出棧設為狀態 0 n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1 n的順序排列 入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a a b 因此輸出序列的總數目 由左而右掃瞄由n個1和n個0組成的2n位二進位制...
N個數依次入棧，出棧順序有多少種？
對於每乙個數來說，必須進棧一次 出棧一次。我們把進棧設為狀態 1 出棧設為狀態 0 n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1 n的順序排列 入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a a b 因此輸出序列的總數目 由左而右掃瞄由n個1和n個0組成的2n位二進位制...