2011-06-16 17:40:43
念書時第一次聽到這個結論，頓時目瞪口呆，隨機性和高維結合起來居然有這麼漂亮的結論，因為太過震撼，多年以後仍依稀記得，今天下午設計演算法時再次用到，試著回想了一下證明過程，記於此。
檢視公式，需要安裝
外掛程式。在n維空間中，給定乙個向量[;v_1;]，不妨假設其為最後乙個單位向量，即（0,0……1），問：隨機給定乙個向量[;v_2;]，[;v_1;]與[;v_2;]正交的可能性有多大？
因為兩個向量正交與否與向量的長度無關，因此不妨設[;v_2;]為單位向量，並且採用球面座標系，則[;v_2;]
可以用n-1個角度構成的向量來表示，即[;(a_1,...a_);]，則向量在此n-1維球面上呈現均勻分布意味著：
[;p(a_1,...a_)=\prod_^(sin a_i)^;]
此時[;a_1;]即為[;v_1;]和[;v_2;]的夾角，將上式對除[;a_1;]外的其他n-2變數求積分（需要注意，其中乙個變數的積分範圍為[;[0,2\pi];]，其他n-3個變數的積分範圍都是[;[0,\pi];]），便得到：
[;p(a_1)=(sin a_1)^;]。
2011-06-16 17:40:43
念書時第一次聽到這個結論，頓時目瞪口呆，隨機性和高維結合起來居然有這麼漂亮的結論，因為太過震撼，多年以後仍依稀記得，今天下午設計演算法時再次用到，試著回想了一下證明過程，記於此。
檢視公式，需要安裝
外掛程式。在n維空間中，給定乙個向量[;v_1;]，不妨假設其為最後乙個單位向量，即（0,0……1），問：隨機給定乙個向量[;v_2;]，[;v_1;]與[;v_2;]正交的可能性有多大？
因為兩個向量正交與否與向量的長度無關，因此不妨設[;v_2;]為單位向量，並且採用球面座標系，則[;v_2;]
可以用n-1個角度構成的向量來表示，即[;(a_1,...a_);]，則向量在此n-1維球面上呈現均勻分布意味著：
[;p(a_1,...a_)=\prod_^(sin a_i)^;]
此時[;a_1;]即為[;v_1;]和[;v_2;]的夾角，將上式對除[;a_1;]外的其他n-2變數求積分（需要注意，其中乙個變數的積分範圍為[;[0,2\pi];]，其他n-3個變數的積分範圍都是[;[0,\pi];]），便得到：
[;p(a_1)=(sin a_1)^;]。
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