迴圈小數轉化為分數

眾所周知迴圈小數是可以轉化為分數的。

把迴圈小數轉化為分數一般用極限的方法，比如0.33333........，可以看成是0.3+0.03+0.003+.......這個等比數列的值，然後求等比數列的和，設有n個數，則根據等比數列公式得和為0.3*(1-0.1^n)/(1-0.1)，化簡得(1-0.1^n)/3，n為無限多個，n趨於無窮大時的極值即為迴圈小數的值，注意了，這個極值就是迴圈小數的值，可不是無限接近迴圈小數的值，舉乙個特殊的迴圈小數0.99999.....，值就是1，因為它等於0.3333......乘以3，而0.33333.....等於1/3，1/3*3等於1，所以0.9999......值就是1。由於迴圈小數的公比肯定小於1，則化簡後的等比數列的和，分子和分母一定是可以化為有限小數的，則分子分母都可以變為整數，這也證明了無限迴圈小數是可以轉化為分數的。

觀察一下迴圈小數(括號裡為迴圈體)和分數：

0.33333...... = 3/9;

0.232323...(23) = 23/99

0.2345234523452345....(2345) = 2345/9999

0.1232323....(23) = 122/990

0.12343434...(34) = 1222/9900 ……

你是否發現了一些規律，歸納如下：

迴圈小數0.abbbb......(a表示數字串，可以為空，b表示迴圈體)，a的長度為m，b的長度為n，則化為分數如下：

(ab-a)/(9...)(0...)，其中9有n個，0有m個。

如0.12345345345...(345) ，則a為12，b為345，ab為12345，m為2，n為3，則化為分數為(12345-12)/99900。

這裡使用python3程式設計實現這個功能，**如下：

def df2f(n, pos=-1):
"""把小數轉換為分數，可以是迴圈小數，不可以是科學記數法表示的小數
@author: cidplp
@param n:輸入小數，可以帶整數部分
@type n:int或者float
@param pos:小數部分迴圈位置，從0開始，-1表示不迴圈
@type pos:int
@return:返回分子和分母
@rtype:int
"""if isinstance(n, (float, int)) == false:
print('請輸入正確的數字')
return none
part = str(n) #part是n的字串樣子
lpart, sep, rpart = part.partition('.') #lpart是整數部分，sep是小數點，rpart是小數部分
if sep == '':
return int(part), 1
if pos >= len(rpart):
print('迴圈小數字置錯誤')
return none
if pos == -1:
denominator = int('1'+'0'*len(rpart))
if int(lpart) >= 0:
numerator = denominator * int(lpart) + int(rpart)
else:
numerator = denominator * int(lpart) - int(rpart)
return numerator, denominator
else:
rlpart = rpart[0: pos] #小數的非迴圈部分
rrpart = rpart[pos:] #小數的迴圈部分
denominator = int('9'*len(rrpart)+'0'*len(rlpart))
if rlpart == '':
rlpart = '0'
if int(lpart) >= 0:
numerator = denominator * int(lpart) + int(rpart) - int(rlpart) 
else:
numerator = denominator * int(lpart) - int(rpart) + int(rlpart) 
return numerator, denominator

這樣算出來的結果不一定是最簡的，如果化簡的話使用下面函式約分：

def redu(numerator, denominator):
"""分數約分，如果分子分母有小數，則都變為整數後約分
@author: cidplp
@param numerator:分子
@type numerator:int或float
@param denominator:分母
@type denominator:int或float
@return:約分後分子和分母
@rtype:int
"""a = numerator
b = denominator
if isinstance(a, (int, float)) == false or isinstance(b, (int, float)) == false:
print('請輸入正確的數字')
return none
if b == 0:
print('分母不能為零')
return none
#把a，b化為分數
t1 = df2f(a)
t2 = df2f(b)
#兩分數相乘，分子賦值給a，分母賦值給b
a = t1[0] * t2[1]
b = t1[1] * t2[0]
#判斷a和b是否有負數
if abs(a+b) == abs(a) + abs(b):
flag = 1
else:
flag = -1
a = abs(int(a))
b = abs(int(b))
temp = max(a, b)
i = 2
while i <= min(a, b):
if a % i == 0 and b % i == 0:
a //= i
b //= i
else: 
i += 1
return a*flag, b

迴圈小數轉化為分數

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