迴圈小數分為混迴圈小數、純迴圈小數兩大類。
混迴圈小數可以*10^n（n為小數點後非迴圈位數），所以迴圈小數化為分數都可以最終通過純迴圈小數來轉化。
無限迴圈小數，先找其迴圈節（即迴圈的那幾位數字），然後將其展開為一等比數列、求出前n項和、取極限、化簡。
例如：0.333333……
迴圈節為3
則0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……
前n項和為：0.3(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)
當n趨向無窮時（0.1）^（n）=0
因此0.3333……=0.3/0.9=1/3
注意：m^n的意義為m的n次方。
再如：0.999999.......
迴圈節為9
則0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……
前n項和為：/(1-0.1)
當n趨向無窮時（0.1）^n=0
因此：0.99999.....=0.9/0.9=1
無限迴圈小數化分數可分為兩類情況，純迴圈小數，混迴圈小數
例：0.1111…… 1的迴圈，我們可以設此小數為x，可得：
10x-x=1.1111……-0.1111……
9x=1
x=1/9
例：0.999999.......=1
設x=0.9999999......
10x-x=9.999999.....-0.999999.....
9x=9
x=1關於這方面，還可以運用極限的知識加以證明，這裡不在贅述。
例：將無限迴圈小數0.26(··)化成分數：
解題：已知無限迴圈小數0.26(··)，將已知無限迴圈小數0.26(··)的未知分數設為x，
即0.26(··) =x——1式，令100x=100(0.26+0.0026(··))，100x=26+0.26(··)——2式，
將（2式）中的無限迴圈小數0.26(··)更換為x得：100x=26+x，
100x-x=26，99x= 26，x=26/99，∴x=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99
例：將無限迴圈小數0.123(··)化成分數：
解題：已知無限迴圈小數0.123(··)，將已知無限迴圈小數0.123(··)的未知分數設為x，
即0.123(··)= x ——1式，令1000x=1000(0.123+0.000123(··))，
1000x=123+0.123(··)——2式，將（2式）中的無限迴圈小數0.123(··)更換為x得：
1000x=123+x，1000x-x=123， 999 x=123，x=123/999，x=41/333，
∴x=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333
歸納
為了公式化，我們可以這樣表示：
x·10∧b－x ，其中b是迴圈節的位數。這適合所有純迴圈小數
例：0.12111…… 1的迴圈，同樣，我們設此小數為x，可得：
1000x-100x=121.111……-12.111……
900x=109
x=109/900
例：將無限迴圈小數0.123(·)化成分數：
解題：已知無限迴圈小數：0.123(·)，將已知無限迴圈小數0.123(·)的未知分數設為x,
∴x=0.123(·)——1式，（1式）兩邊同時乘以10得：
10x=1.23(·)——2式，（2式）-（1式）得：9x=1.11，x =1.11/9，
x =0.37/3，x =37/300，∴x=0.123(·)=37/300，即：0.123(·)=37/300
歸納
它的公式是：
x·10∧（a+c）-x·10∧a，這裡的a是小數點後的迴圈節前的數字的位數，c代表迴圈節位數。
帶小數也適用！！
純迴圈小數和混迴圈小數在化分數時公式存在差異，但理論上x·10∧（a+c）-x·10∧a適用於全部迴圈小數。因為無限不迴圈小數（無理數）無公度比，因此無限不迴圈小數（無理數）不能化成分數形式、即不能表達為n/m的形式，…。
用9做分母，有多少個迴圈數就幾個9，比如0.3，3的迴圈就是9分之3，0.654，654的迴圈就是999分之654， 0.9，9的迴圈就是9分之9（1），以此類推。
先來看幾個例子
例：把混迴圈小數0.228˙化為分數：
解：0.228˙
=[（228/1000）+8/9000）]
=228/（900+100）+8/9000
=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）
=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]
=（228/900）-（22/900）
=（228-22）/900
=206/900
=103/450；
例：把混迴圈小數0.123˙68˙化成分數：
解：0.123˙68˙=(0.12368+0.00000˙68˙)
=(12368/100000)+（68/9900000）
=[（12368/99000）-（12368/990000）]+（68/9900000）
=（12368/99000）+[（68/9900000）-（12368/9900000）]
=（12368/99000）-（12300/9900000）
=(12368-123)/99000
公式
用9和0做分母，首先有乙個迴圈節有幾位數字就幾個9，接著有幾個沒加入迴圈的數就加幾個0，再用第二個迴圈節以前的小數部分組成的數與小數部分中不迴圈部分組成的數的差做分子，比如0.43，3的迴圈，有一位數沒加入迴圈，就在9後面加乙個0做分母，再用43減4做分子，得 90分之39，0.145，5的迴圈就用9後面加2個0做分母，再用145減14做分子，得900分之131，0.549，49的迴圈，就 用99後面加1個0做分母，用549減5做分子，最後得990分之545，以此類推，能約分的要化簡。
1、有限小數化成分數：分母的首位數是1後面是0，0的個數與小數字數的個數相同，分子是把有限小數取作整數，把小數點右邊的數看作整數作為分子，但不包括小數點右邊十分位、百分位、千分位，...上的0，能約分的要化簡，譬如：將0.678化為分數，即678/1000=339/500，0.1681=1681/10000，0.087=87/1000，0.0078=78/10000=39/5000，...；
2、帶小數（混小數）化成分數：
譬如：將2.18化成分數，解：因為2.18=2+0.18，所以，2.18=2+0.18=2+（18/100）=2+（9/50）=109/50，把3.1415化成分數，∵3.1415=3+0.1415，∴3.1415=3+（1415/10000）=3+（283/2000）=6283/2000，等等以此類推，能約分的一定要化簡；
3、負小數化成分數其法則、方法與以上相同：
譬如：-0. ˙186˙=-186/999=-62/333，-0.0˙87˙=-87/990=-29/330，-0.5678=-5678/10000=-2839/5000，等等依次類推，能約分的一定要化為最簡分數。
將無限迴圈小數化為分數
眾所周知，有限小數是十進分數的另一種表現形式，因此,任何乙個有限小數都可以直接寫成十分之幾 百分之幾 千分之幾 的數。那麼無限小數能否化成分數?首先我們要明確，無限小數可按照小數部分是否迴圈分成兩類 無限迴圈小數和無限不迴圈小數。無限不迴圈小數不能化分數，這在中學將會得到詳盡的解釋 無限迴圈小數是可...
無限迴圈小數四則運算 無限迴圈小數不能進行四則運算
摘 要 無限迴圈小數進行四則運算時會發生錯誤，本文給出了詳細證明。四則運算是指加法 減法 乘法和除法四種運算，是小學數學的重要內容。在現代數學中，無限迴圈小數被列入有理數。如 0.111 0.333 0.999 等都是有理數。有理數的四則運算是小學生必須掌握的基本技能。現在有乙個問題 0.111 1...
求無限迴圈小數的迴圈節長度
新手的 思路 求出小數的小數部分，需要一定的長度，可以將其儲存在陣列中 將陣列分為最長 length 2 部分，一一進行比較判斷是否是迴圈節並求出迴圈節長度 package edu.ecut public class arraytest private intgetrepeatlength int ...