【摘 要】無限迴圈小數進行四則運算時會發生錯誤，本文給出了詳細證明。
四則運算是指加法、減法、乘法和除法四種運算，是小學數學的重要內容。
在現代數學中，無限迴圈小數被列入有理數。如 0.111…、0.333…、0.999… 等都是有理數。
有理數的四則運算是小學生必須掌握的基本技能。
現在有乙個問題：0.111…×10 = ？
全世界的小學生都會毫不猶豫地給出答案：1.111…。
然而，這個結果是錯誤的。
這是怎麼回事呢？
原來，無限迴圈小數是一種特殊的數，它的運算涉及無窮大(∞)。在涉及無窮的時候，四則運算就失效了。
下面用乙個例項，證明無限迴圈小數不滿足四則運算規則。
設 n 是無限迴圈小數 0.111… 中「1」的個數，很容易寫出下列恒等式：
當 n = 1 時，10 × 0.1 = 1 + 0.1 ﹣ 0.1
當 n = 2 時，10 × 0.11 = 1 + 0.11 ﹣ 0.01
當 n = 3 時，10 × 0.111 = 1 + 0.111 ﹣ 0.001
當 n = 4 時，10 × 0.1111 = 1 + 0.1111 ﹣ 0.0001
當 n = 5 時，10 × 0.11111 = 1 + 0.11111 ﹣ 0.00001
當 n = ∞ 時，10 × 0.111… = 1 + 0.111… ﹣
由於，所以
10 × 0.111… ≠ 1 + 0.111…
10 × 0.111… ≠ 1.111…
同樣的道理，還可以得到
10 × 0.333… ≠ 3.333…
10 × 0.999… ≠ 9.999…
10 × 2.777… ≠ 27.777…
以上各式說明，無限迴圈小數不滿足簡單的乘法規則。無限迴圈小數乘以 10 時，把小數點向後移一位將得到錯誤的答案。
這麼簡單的算術問題，竟然有錯，你敢相信嗎？
乘法的本質是加法，減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，四者相互關聯。無限迴圈小數不滿足乘法法則，相當於不滿足四則運算規則。
這個問題意義重大，涉及小學數學基礎知識，不僅與全世界十幾億小學生密切有關，也與我們每個人有關。
數學家們如何面對？讓我們拭目以待。
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