堆與堆排序

二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。

二叉堆滿足二個特性：

1．父結點的鍵值總是大於或等於（小於或等於）任何乙個子節點的鍵值。

2．每個結點的左子樹和右子樹都是乙個二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

當父結點的鍵值總是大於或等於任何乙個子節點的鍵值時為最大堆。當父結點的鍵值總是小於或等於任何乙個子節點的鍵值時為最小堆。如下圖所示

一般都用陣列來表示堆，i結點的父結點下標就為(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別為2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

這裡以大頂堆為例

#define  l  (2*x+1)
#define  r  (2*x+2)
void adjustmaxheap(int a, int i, int n) //調整大頂堆

每次插入都是將新資料放在陣列最後。可以發現從這個新資料的父結點到根結點必然為乙個有序的數列，現在的任務是將這個新資料插入到這個有序資料中。

堆中每次都只能刪除第0個資料。為了便於重建堆，實際的操作是將最後乙個資料的值賦給根結點，然後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最大的，如果父結點比這個最大的子結點還大說明不需要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。相當於從根結點將乙個資料的「下沉」過程。

void maxheapfix(int a, int &n, int k)    //堆的插入
n++;
}

void maxheapdelete(int a, int &n)           //堆的刪除

首先可以看到堆建好之後堆中第0個資料是堆中最大的資料。取出這個資料再執行下堆的刪除操作。這樣堆中第0個資料又是堆中最大的資料，重複上述步驟直至堆中只有乙個資料時就直接取出這個資料。

堆化陣列後，第一次將a[0]與a[n - 1]交換，再對a[0…n-2]重新恢復堆。第二次將a[0]與a[n – 2]交換，再對a[0…n - 3]重新恢復堆，重複這樣的操作直到a[0]與a[1]交換。由於每次都是將最大的資料併入到後面的有序區間，故操作完成後整個陣列就有序了。下面附上完整的**：

//堆排序具體實現
#include #include using namespace std;
#define n 1000
#define l (2*x+1)
#define r (2*x+2)
#define max 0x3fffff
void swap(int &a, int &b)
void adjustmaxheap(int a, int i, int n) //調整大頂堆
n++;
}void maxheapdelete(int a, int &n) //堆的刪除
int main()
for(int i=0; i使用最大堆排序後是遞增陣列，要得到遞減陣列，可以使用最小堆，時間複雜度o(n * logn)。

堆與堆排序

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