特徵值和特徵向量的物理意義
abstract:
特徵向量：它經過這種特定的變換後保持方向不變。只是進行長度上的伸縮而已。
特徵值：?乙個變換（矩陣）可由它的所有特徵向量完全表示，而每乙個向量所對應的特徵值，就代表了矩陣在這一向量上的貢獻率——說的通俗一點就是能量（power）。
內積：內積可以簡單的理解為兩個函式的相似程度,內積值越大表示兩個函式相似程度越大,內積為零表示完全不相似。兩個函式內積為零則兩個函式正交,在三維空間中它們的夾角為90度,在三維以上不是這樣的。
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矩陣(既然討論特徵向量的問題。當然是方陣。這裡不討論廣義特徵向量的概念)乘以乙個向量的結果仍是同維數的乙個向量。因此。矩陣乘法對應了乙個變換。把乙個向量變成同維數的另乙個向量。那麼變換的效果是什麼呢?這當然與方陣的構造有密切關係。比如可以取適當的二維方陣。使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度。這時我們可以問乙個問題。有沒有向量在這個變換下不改變方向呢?可以想一下。除了零向量。沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的。所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特徵向量(注意:特徵向量不能是零向量)。所以乙個變換的特徵向量是這樣一種向量。它經過這種特定的變換後保持方向不變。只是進行長度上的伸縮而已(再想想特徵向量的原始定義ax=?cx。你就恍然大悟了。看到了嗎?cx是方陣a對向量x進行變換後的結果。但顯然cx和x的方向相同)。而且x是特徵向量的話。ax也是特徵向量(a是標量且不為零)。所以所謂的特徵向量不是乙個向量而是乙個向量族。?另外。特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已。對乙個變換而言。特徵向量指明的方向才是很重要的。特徵值不是那麼重要。雖然我們求這兩個量時?先求出特徵值。但特徵向量才是更本質的東西!
比如平面上的乙個變換。把乙個向量關於橫軸做映象對稱變換。即保持乙個向量的橫座標不變。但縱座標取相反數。把這個變換表示為矩陣就是[1?0;0?-1]。其中分號表示換行。顯然[1?0;0?-1]*[a?b]'=[a?–b]'。其中上標?'?表示取轉置。這正是我們想要的效果。那麼現在可以猜一下了。這個矩陣的特徵向量是什麼?想想什麼向量在這個變換下保持方向不變。顯然,橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是映象對稱變換。那鏡子表面上(橫軸上)的向量當然不會變化)。所以可以直接猜測其特徵向量是?[a?0]'(a不為0)。還有其他的嗎?有。那就是縱軸上的向量。這時經過變換後。其方向反向。但仍在同一條軸上。所以也被認為是方向沒有變化。
當我們引用了spectral?theorem（譜定律）的時候，情況就不一樣了。spectral?theorem的核心內容如下：乙個線性變換a（用矩陣乘法表示）可表示為它的所有的特徵向量的乙個線性組合，其中的線性係數就是每乙個向量對應的特徵值，寫成公式就是：
t(x)=(v1。x)λ1v1+(v2。x)λ2v2+(v3。x)λ3v3+。。。
其中，v1?v2?v3等表示特徵向量，λ1?λ2?λ3等表示特徵值，v表示輸入向量，t(x)即變換後的向量。
從這裡我們可以看出，乙個變換（矩陣）可由它的所有特徵向量完全表示(即t(x)=ax)。而每乙個向量所對應的特徵值，就代表了矩陣在這一向量上的貢獻率——說的通俗一點就是能量（power），這種貢獻是一種整體上的貢獻率，對於單個向量來說還要考慮特徵向量v與輸入向量x的點積，即dot(v,x)部分。也就是說，即使λ1相比其它特徵值來說很大，使得v1的貢獻率很高，但是（v1。x）=0，t(x)在v1上也沒有任何表現。
我們知道，乙個變換可由乙個矩陣乘法表示，那麼乙個空間座標系也可視作乙個矩陣，而這個座標系就可由這個矩陣的所有特徵向量表示，用圖來表示的話，可以想象就是乙個空間張開的各個座標角度，這一組向量可以完全表示乙個矩陣表示的空間的「特徵」，而他們的特徵值就表示了各個角度上的能量（可以想象成從各個角度上伸出的長短，越長的軸就越可以代表這個空間，它的「特徵」就越強，或者說顯性，而短軸自然就成了隱性特徵），因此，通過特徵向量/值可以完全描述某一幾何空間這一特點，使得特徵向量與特徵值在幾何（特別是空間幾何）及其應用中得以發揮。
---案例學習：二維空間直角座標系下，有一向量x=[1?1]'，求通過變換矩陣a=[1?2;3?4]後的向量。
步驟1：題目中之所以強調直角座標系，是因為想讓大家清楚，日常生活中所預設的這種座標系的變換矩陣為a0=[1?0;?0?1]，其對應的2組特徵值和特徵向量為：橫座標即λ1=1，v1=[1?0]';?縱座標即λ2=1，v2=[0?1]'。v1和v2也可以稱為二維空間的一組基。
你可以發現t(x)=a0x=[1?0;?0?1]?*[1?1]'=[1?1]'。根據譜定理也有：t(x)=(v1。x)λ1v1+(v2。x)λ2v2=dot(v1,x)*?λ1*v1+dot(v2,x)*?λ2*v2=[1?1]'。
步驟2：下面看一下題目中的變換矩陣a=[1?2;3?4]，其對應的特徵值和特徵向量為：λ1=-0。3723，v1=[-0。8246?0。5658]';?λ2=5。3723，v2=[-0。4160?-0。9094]'。如果不假思索直接得到t(x)=ax=[3?7]'，當然結果正確，但本案例旨在說明這個結果的意義和背後的故事。首先需要明白結果[3?3]'仍然是在直角座標系下，即基為[1?0]'和[0?1]'。根據譜定理也有：t(x)=(v1。x)λ1v1+(v2。x)λ2v2=dot(v1,x)*?λ1*v1+dot(v2,x)*?λ2*v2=[2。8824?6。5294]'≈[3?7]'。將x變換前後的在直角座標系中的向量圖表示如下，圖中得出：a對x的作用是旋轉和縮放。
步驟3：?更換直角座標系的基，由原來的[1?0]'和[0?1]'變為由a的特徵向量[-0。8246?0。5658]'和[-0。4160?-0。9094]'組成的一對正交基。將x對映到此正交基構成的座標系中，得到[-0。2588???-1。3254]'（變換前的x）和?[1。4867???-7。6136]（變換後的x）。下圖給出了座標系變換前後的對比圖，圖中可得：更換正交基是對整個座標系進行旋轉和縮放。
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