鐘錶上有很多有趣的數學問題，下面就循序漸進的帶大家走入神秘的鐘錶問題。
1.中午12點整的時候，時針與分針發生重合。請問下一次重合是什麼時刻？
初略的看，12點之後1點之前，分針永遠在時針前面，可以感受到重合將會發生在1點05分和1點10分之間。
我們假設1點x分時兩針重合。注意到分針的速度是時針的12倍，於是我們便有方程：x = x / 12 + 5.
解得x = 60 / 11. 所以1點5分60/11秒，時針與分針再次重合。
2.一天24小時之內，時針與分針發生了多少次重合？
如果我們硬要用數學方法算，則如下：
記x為從零點整開始過了x分鐘後兩針重合，方程的解的個數就是答案：x % 60 = (x / 12) % 60，0 <= x < 60*24=1440
直接去求方程的解的個數是比較麻煩的。當然可以求出有22個解。
這裡給出乙個比較直觀簡單的想法。
從零點整開始到零點59分59秒，有一次重疊，這是顯然的；
從1點整到1點59分59秒，有一次重疊，這是因為分針掃了一周，而時針只是從1走到了2；
從2點整到2點59分59秒，類似的，也有一次重疊；
這樣下去貌似每個小時段都會有重疊發生。那麼到底有沒有例外呢？
有。在11點整到11點59分59秒，這裡是不會發生重疊的。為什麼？
因為12點整兩針重疊，往前的一小段時間裡分針永遠在時針後面（我們假設回撥時鐘，則分針走得都比時針快）。
於是我們便有了最終答案，除去兩個11點，一天裡便發生24 - 2 = 22次重疊。
還有一種思路是，我們考慮12小時內，時針轉了一圈，分針裝了12圈，所以發生了11次重合（剛滿12小時那一瞬間重合是不算的）。
這樣得出的結論也是22次。
3.算出所有兩針重疊的時刻
注意到兩次相鄰重疊的時間間隔是一樣的。為什麼？可以這樣考慮。設某時刻兩針重疊，過x分鐘再次重疊。
有 x - x / 12 = 60.可以解出 x ＝ 60 + 60 / 11.
這樣我們便知道重疊時分針都在時鐘盤面的11等分處。
於是答案便是：0時0分，1時60/11分，2時120/11分，……，10時600/11分，12時0分，13時60/11分，……，22時600/11分
4.當時針分針重合，秒針指在49秒處，問現在時幾點？
由上面的結論，注意60*4/11分約等於21分49秒，所以答案是4時21分49秒或16時21分49秒。怎麼算出是4？
對於60k/11,49秒約為9/11分（49*11/60約為9），也就是60k除以11餘9，注意60除以11餘5，我們很快就想到了5*4除以11餘9，4就是這樣出來的。
5.兩針夾角成x度(0 <= x <= 180)，一天之內會發生多少次？
當x為0時，便是我們熟悉的22次。其他情況怎麼算？
我們可以充分利用已經得到的結論。
我們先考慮0 < x <= 90。這裡有兩種情形，一種是分針領先於時針，另外一種分針落後時針也可以形成固定角度。
對於領先的情形，我們這樣考慮。假設某時刻分針領先於時針x度，則下一次再次領先於時針x度需要多長時間？
還是和3題裡面一樣的方程，同樣也有3題一樣的結論，就是領先於時針x度有22次。能理解麼？
對於落後的情形亦是如此，也有22次。
所以對於x = 0 或 x = 180，重疊會發生22次；對於0 < x < 180， 重疊會發生四十四次。
6.三針重疊一天會發生多少次（未完待續）
總結
講了這麼多，讓我們來總結下規律。
注意到分針的速度為6°每分鐘，時針的速度為0.5°每分鐘，我們便有：
時針角度公式
這裡分針角度公式
這裡例子
當前時間7:23，則時針角度為：(60 * 7 + 23) / 2 = 221.5；分針角度為：23 * 6 = 138
時針分針夾角公式
例子
當前時間2:15，則兩針夾角為：| (60 * 2 - 11 * 15) / 2 | = 22.5
現在我們回頭看看原先的重合問題。
重合即兩個角度相等，便有方程：
這裡0:00, 1:05.
45, 2:10.
90, 3:16.
36,……
參考：
2018 6 18 數學問題
define crt secure no deprecate 求正整數n的質因數的個數。120 2 2 2 3 5 所以最後輸出時5 10 9 n至多只存在乙個大於sqrt n 的素因數 這裡只需要篩選到100000就可以 通過素數表，不斷試除，最後求出各個冪指數的和 include 素數表找到10...
2018 6 18 數學問題
2 4 3 8 2 3 3 對分母n 和分子 a進行因子分解後，找到其對應的冪指數相除結果最小的即為最後結果 對n！分解素因數 計算n 中將有幾個p因子ans 計算n p,有n p個整數可以向n 提供乙個p因子 ans n p 計算n p p 有n p p 個整數可以向n 提供兩個因子，相較於上乙個...
基礎數學問題
要找出唯一單著的那個數，可以用異或的方式 我們已知 a a 0 對於存在偶數個的數字，遲早會互相抵消，奇數個的數字也會兩兩抵消，只剩下最後乙個答案。1 模擬 1.將數字轉換為2進製字串s1 itoa 2.補前導零，字串s2先存低位，再存高位 相當於交換 3.轉換為10進製輸出 atoi 注意 2 3...